Законы распределения случайной величины, описывающие безотказность, ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость

При распределении Вейбулла-Гнеденко вероятность безотказной работы (БР) на интервале (0,1) имеет вид (см. рисунок). Вероятность безотказной работы равна:

.

Из этого выражения следует, что плотность наработки на отказ равна:

.

Среднее время безотказной работы (наработка на отказ), согласно выражению:

,

где Г – полная гамма-функция.

Закон Вейбулла-Гнеденко проявляется в модели так называемого "слабого звена". Если система состоит из группы независимых элементов, отказ или неисправность которых приводит к отказу всей системы, то ве­роятность ее безотказной работы определяется предельным отклонением.

Например, ресурс подшипника качения ограничивается одним из элементов (шарик или ролик, конкретный участок сепаратора) и описывается указанным распределением.

Кроме того, в расчетной практике широкое распространение получили два однопараметрических распределения, которые являются частными случаями распределения Вейбулла. Это экспоненциальное распределение (при постоянном коэффициенте вариации V = 1) и распределение Релея (при постоянном коэффициенте вариации V = 0,523).

Экспоненциальный закон не учитывает постепенного изменения па­раметров технического состояния, например, в результате изнашивания, старения и т. д, а рассматривает так называемые нестареющие элементы и их отказы. Наибольшее распространение получил при описании вне­запных отказов, продолжительности ремонтных воздействий и т. д.

;

;

.

Вероятность безотказной работы для экспоненциального закона:

, t³ 0; l> 0.

При распределении Релея вероятность безотказной работы на интервале (0, t) равна:

.

где: s – параметр распределения Релея, который одновременно является модой этого распределения.

Мода непрерывного распределения есть точка максимума плотности распределения вероятности w(t). Мода дискретного распределения есть такое спектральное значение, при котором предшествующие и последующие спектральные значения имеют вероятности, меньшие, чем Р(t).

Плотность распределения наработки на отказ равна:

.

Интенсивность отказов равна:

.

Среднее время безотказной работы – (математическое ожидание) для распределения Релея равно:

.

Соответственно дисперсия времени БР:

.

В теории надежности для «стареющих» элементов в качестве распределения интервала безотказной работы наряду с распределением Вейбулла при d> 1 используют нормальное распределение.

Изменение технического состояния осуществляется по нормальному закону – когда на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число независимых (или слабозависимых) факторов, каждый из которых, в отдельности, оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным влиянием всех остальных.

.

Это распределение зависит от двух параметров: среднего времени Т_ср и дисперсии безотказной работы .

Логарифмически нормальный (логнормальный) закон может встречаться, если на протекание исследуемого процесса и его результат влияет сравнительно большое число случайных и взаимонезависимых факторов, интенсив­ность действия которых зависит от достигнутого случайной величиной состояния. Это так называемая модель пропорционального эффекта.