Стоячие волны

Уравнение стоячей волны. При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение (суперпозиция), причем (в линейной среде) волны не возмущают друг друга: колебаний частиц среды оказывается векторной (т.е. учитывающей разность фаз) суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это свойство называется принципом суперпозиции.

Рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн одинаковой амплитуды и частоты , распространяющихся в противоположных направлениях оси :

(начала отсчета времени и координаты выбраны так, что начальные фазы обеих волн одинаковы и равны нулю). Полученное выражение является уравнением стоячей волны. В этой волне частицы среды колеблются с частотой ω, однако амплитуда этих колебаний | | в данный момент времени в разных точках среды разная. Волна имеет пучности в точках = 1, где амплитуда максимальна, волна имеет узлы в точках = 0, где амплитуда равна нулю. Период функции равен π, поэтому . Таким образом, интервалы между соседними пучностями или узлами равны половине длины волны каждой из бегущих волн. В интервале между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе через узел фаза меняется на π, т.е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы волны как бы разделяют среду на автономные области, в каждой из которых колебаний совершаются независимо. Никакой передачи возмущений, а следовательно, и энергии из одной точки среды в другую не происходит. Именно поэтому волна носит название стоячей.

Энергия стоячей волны.

Определим скорость колебаний частиц в стоячей волне и величину относительной деформации в ней:

Видно, что обе величины также представляют собой стоячие волны, сдвинутые по фазе друг относительно друга на – как в пространстве, так и во времени.

Соответственно, происходят превращения энергии стоячей волны: из потенциальной (упругой) в кинетическую и обратно. В моменты времени скорость всех частиц обращается в нуль – механическая энергия волны равна потенциальной энергии. В моменты времени наоборот, в нуль обращается деформация в каждой точке среды, и, соответственно полная механическая энергия среды является ее кинетической энергией. Средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.