Правило Лопіталя

Основні теореми диференціального числення.

Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [ a; b ], диференційовна на інтервалі (a; b), причому f (а)= f (b), то існує принаймні одна точка с Î(a; b) така, що (теорема Ролля).

Геометричний зміст теореми Ролля. Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то серед усіх дотичних до кривої y = f (x) існує принаймні одна, паралельна осі О х (рис.4.2).

Якщо функції y = f (x) і y =j(x) неперервні на відрізку [ a; b ] і диференційовні на інтервалі (a; b), причому , то існує принаймні одна точка с Î(a; b) така, що

(теорема Коші).

Якщо в умові теореми Коші розглянути функцію j(x)= х, то буде справедливе наступне твердження.

Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [ a; b ] і диференційовна на інтервалі (a; b), то існує принаймні одна точка с Î(a; b) така, що

(теорема Лагранжа).

Геометричний зміст теореми Лагранжа. Якщо функція y = f (x) задовольняє умови теореми Лагранжа, то серед усіх дотичних до кривої y = f (x) знайдеться принаймні одна, яка паралельна хорді АВ, де , (рис.4.3). І дійсно,

, .

Для розкриття невизначеностей вигляду і використовують правило Лопіталя. Нехай функції f і g диференційовні в деякому околі точки х ₀ (скінченої або нескінченно віддаленої), крім, можливо, безпосередньо точки х ₀. Якщо f і g при х ® х ₀ є одночасно нескінченно малими або нескінченно великими , причому існує границя , то існує також границя і має місце рівність

= . (4.11)

Якщо не існує, то правило Лопіталя застосовувати не можна, хоча шукана границя може існувати.

Правило Лопіталя можна застосовувати декілька разів.

Крім розглянутих невизначеностей, зустрічаються ще такі:

0×¥, +¥–(+¥), 0⁰, ¥⁰, 1^¥.

Кожну з цих невизначеностей можна звести до невизначеності або за допомогою таких перетворень:

0×¥= або 0×¥= ,

+¥–(+¥)= ;

0⁰= ; ¥⁰= ; 1^¥= .