Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойства параллельных прямых

При пересечении двух прямых a и b секущей c (рисунок 4) образуется 8 углов. Среди них различают:

• внутренние односторонние углы (Ð3 и Ð5, Ð4 и Ð6 на рисунке 4);
• внутренние накрест лежащие углы (Ð3 и Ð6, Ð4 и Ð5 на рисунке 4);
• соответственные углы (Ð1 и Ð5, Ð3 и Ð7, Ð2 и Ð6, Ð4 и Ð8 на рисунке 4);
• внешние односторонние углы (Ð1 и Ð7, Ð2 и Ð8 на рисунке 4);

· внешние накрест лежащие углы (Ð1 и Ð8, Ð2 и Ð7 на рисунке 4).

Признаки параллельности прямых позволяют судить о параллельности двух прямых по соотношению между углами, образованными этими прямыми и секущей:

· Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны (к примеру, если на рисунке 4 , или , или , или , то aïêb).

· Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны (к примеру, если на рисунке 4 , или , или , или , то aïêb).

· Если односторонние углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, в сумме дают 180°, то прямые параллельны (к примеру, если на рисунке 4 , или , или , или , то aïêb).

Из сформулированных признаков параллельности прямых вытекает важное следствие: Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.

Если известно, что прямые параллельны (на рисунке 5 aïêb), то углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, обладают следующими свойствами:

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:

· Если прямые параллельны, то накрест лежащие углы, образованные при пересечении их секущей, равны (на рисунке 5 , и ).

· Если прямые параллельны, то соответственные углы, образованные при пересечении их секущей, равны (на рисунке 5 , и ).

· Если прямые параллельны, то односторонние углы, образованные при пересечении их секущей, в сумме составляют 180° (на рисунке 5 ).

Следует различать признаки и свойства углов при параллельных прямых и секущей: если свойства справедливы в случае, когда прямые параллельны (углы при параллельных прямых обладают указанными выше свойствами), то признаки позволяют выяснить, являются ли прямые параллельными. Свойства и признаки называются взаимно обратными теоремами (то, что является причиной в свойстве, в признаке оказывается следствием, и наоборот).

На рисунке 6 изображены биссектрисы углов, образованных при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей XY. Пользуясь рисунком, докажем следующее свойство биссектрис углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей: Биссектрисы накрест лежащих или соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, тоже параллельны. Биссектрисы односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, взаимно перпендикулярны.

На рисунке 6 ABïêCD. Требуется доказать, во-первых, что PQïêRT (эти прямые содержат биссектрисы накрест лежащих и соответственных углов), а во-вторых – что VT^RT (эти прямые содержат биссектрисы односторонних углов).

1. ÐXND и ÐNMB – соответственные при параллельных прямых AB и CD и секущей XY, следовательно, по свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, ÐXND = ÐNMB. Но тогда . Поскольку углы XNQ и NMT – соответственные при прямых PQ и RT и секущей XY, то из их равенства следует параллельность прямых PQ и RT по признаку параллельности прямых.

2. ÐMND и ÐNMB – внутренние односторонние при параллельных прямых AB и CD и секущей XY, следовательно, по свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, . Тогда , и по теореме о сумме углов треугольника для DMNT получаем: , то есть VT^RT.

Свойство доказано.