Особые точки аналитических функций

Определение. Точка а называется особой точкой функции , если в этой точке функция имеет разрыв или у нее не существует производная.

Точка а называется изолированной особой точкой функции , если существует такое , что в кольце функция аналитична.

В дальнейшем рассматриваются только изолированные особые точки.

Пусть а – изолированная особая точка функции .

Определение 1. Точка а называется устранимой особой точкой функции , если существует конечный предел .

Теорема 1. Для того, чтобы а была устранимой особой точкой функции необходимо и достаточно, чтобы в разложении в кольце в ряд Лорана в нем отсутствовала главная часть.

Если положить , то особенность исчезает.

Определение 2. Точка а называется полюсом функции , если .

Теорема 2. Для того, чтобы а была полюсом функции необходимо и достаточно, чтобы в разложении в кольце в ряд Лорана в главной части было конечное число слагаемых.

Замечание. Если главная часть начинается с члена, содержащего , то говорят, что точка а есть полюс n -го порядка. Если n =1, то полюс называется простым.

Определение 3. Если не существует, то точка а называется существенно особой точкой функции .

Теорема 3. Для того, чтобы а была существенно особой точкойфункции необходимо и достаточно, чтобы в разложении в кольце в ряд Лорана в главной части было бесконечное число слагаемых.

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

1. — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и

2. — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной).

При этом ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Термин назван в честь французского математика

областью сходимости ряда Лорана (60) будет пересечение областей сходимости его частей и имеет место теорема:

функция аналитическая в круговом кольце однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана, а коэффициенты определяются выражением:

(61)

где - произвольный замкнутый контур, принадлежащий кольцу . Формула (61) определяет прямой способ разложения функции в ряд Лорана.