Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Логарифмическая функцияЛогарифмическая функция Ln z, при z 0 определяется как обратная к показательной функции, причем Так как показательная функция – периодическая с периодом 2p i, то логарифмическая функция является многозначной. В каждой точке z 0 она принимает бесконечно много значений. Функция где arg z – главное значение аргумента, называется главным значением логарифмической функции. Итак, Известные правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и для многозначного логарифма, а именно: при z 1 и z 2, отличных от нуля, верны формулы 6. Общая степенная функция: , a C. Эта функция многозначная, её главное значение равно . При a =1/ n, n N получаем многозначную функцию – корень n -й степени из z:
Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного . В декартовых координатах Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана: Компактная запись: Если условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм: [править]Доказательство [править] 1. Необходимость По условию теоремы существует предел , не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение . Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула Полагая , находим . Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана. [править] 2. Достаточность По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде , , где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду . Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .
|