Вычисление площадей многоугольников с использованием тригонометрических функций

Знание тригонометрических функций углов позволяет вывести новые формулы для вычисления площадей следующих многоугольников:

Формула для вычисления площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними: Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус заключенного между ними угла (рисунки 7а и 7б).

Дано:

ABCD – п/г.

Доказать:

S_ABCD = AB · AD ·sinÐ A.

Доказательство:

1. Проведем из вершины B к стороне AD высоту BH. Тогда из прямоугольного треугольника ABH ; . Если угол A прямой, то . В случае, когда угол A параллелограмма тупой (рисунок 7б), . Итак, для любого угла A .

2. По формуле для вычисления площади параллелограмма, . #

Следствие (формула для вычисления площади треугольника по двум сторонам и углу между ними): Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус заключенного между ними угла.

Формула для вычисления площади произвольного четырехугольника: Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними (рисунки 8а и 8б).

Дано:

ABCD – четырехугольник.

Доказать:

.

Доказательство:

На рисунках 8а и 8б изображены выпуклый и невыпуклый четырехугольники соответственно.

1. Проведем к основанию AC высоты BH и DF треугольников ABC и ADC соответственно. Тогда если O - точка пересечения диагоналей четырехугольника, то из прямоугольных треугольников BOH и DOF получаем: ;
.

2.

. #

Замечание: Ранее была выведена формула для вычисления площади четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями. Если учесть, что , становится понятно, что эта формула является лишь частным случаем только что выведенной формулы.