Определение тригонометрических функций острого угла и связь между ними

Дадим определение тригонометрическим функциям острого угла прямоугольного треугольника (рисунок 1):

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: .

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: .

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение противолежащего катета к прилежащему: .

· Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника ABC называется отношение прилежащего катета к противолежащему: .

Замечание 1: Тригонометрические функции острого угла определяются исключительно градусной мерой самого угла и не зависят от «надетого» на него треугольника: если рассмотреть два прямоугольных треугольника APQ и ABC, «надетых» на острый угол α (рисунок 1), то Δ ABC ~ Δ AQP по двум углам, а следовательно, их стороны пропорциональны. Тогда ; ; ; .

Найдем по рисунку 1 тригонометрические функции острого угла (90° ‑ α):

; ; ; .

Оказывается, можно найти все тригонометрические функции острого угла, зная одну из них. Это позволяют сделать следующие тригонометрические тождества:

1. Связь между синусом и косинусом (основное тригонометрическое тождество): .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, (поскольку доказательство базируется исключительно на теореме Пифагора, основное тригонометрическое тождество иногда называют тригонометрической формой теоремы Пифагора). #

2. Связь между синусом, косинусом и тангенсом: .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, . #

3. Связь между синусом, косинусом и котангенсом: .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, . #

4. Связь между тангенсом и котангенсом: .

Доказательство: В соответствии с рисунком 1, . #

5. Связь между тангенсом и косинусом: .

Доказательство: Поделим обе части основного тригонометрического тождества на : (здесь учтено, что ). #

6. Связь между котангенсом и синусом: .

Доказательство: Поделим обе части основного тригонометрического тождества на : (здесь учтено, что ). #

2. Значения тригонометрических функций углов в 30°, 45° и 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с острыми углами в 30° и 60° и меньшим катетом, равным 1 (рисунок 2):

По свойству прямоугольного треугольника с углом в 30°, AB = 2. Катет AC найдем по теореме Пифагора: . Теперь, зная все стороны треугольника ABC, найдем тригонометрические функции углов в 30° и 60°:

; ;

; .

Теперь рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 1 (рисунок 3). Оба его острых угла равны по 45°. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: . По определению тригонометрических функций острого угла, , .

Оформим найденные значения тригонометрических функций углов в виде таблицы:

	sin	cos	tg	ctg
30°
45°
60°