Теоретичні відомості. Нехай частинка А, що має імпульс , рухається по дузі кола навколо точки О

Нехай частинка А, що має імпульс , рухається по дузі кола навколо точки О. Положення точки характеризується радіус-вектором , який спрямований до точки А з точки О. Моментом імпульсу частинки А відносно точки О називають вектор , який дорівнює векторному добутку векторів і :

.

Напрямок вектора обраний так, що обертання навколо точки О в напрямку вектора і вектор утворять правогвинтову систему. Модуль вектора дорівнює:

,

де a – кут між векторами і , – плече вектора щодо точки О.

Знайдемо величину, яка відповідає за зміну вектора в даній системі відліку. Для цього продиференціюємо формулу моменту імпульсу за часом:

.

Так як точка О нерухома, то вектор дорівнює швидкості частинки, тобто збігається за напрямком з вектором , тому

.

Відповідно з другим законом Ньютона

,

де – рівнодіюча всіх сил, прикладених до частинки.

Отже,

.

Моментом сили щодо вісі обертання О називається векторна фізична величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-вектора і сили, що діє на точку:

.

Напрямок і модуль вектора визначається так само, як і :

,

де – плече сили .

Рівняння моментів: швидкість зміни моменту імпульсу частинки відносно деякої точки О обраної системи відліку дорівнює моменту рівнодіючої сили відносно тієї ж точки О:

.

Якщо система відліку є неінерціальною, то момент сили містить у собі як момент сил взаємодії, так і момент сил інерції (відносно тієї ж точки О).

Момент імпульсу і момент сили відносно вісі. Візьмемо в деякій системі відліку довільну нерухому вісь Z. Нехай щодо деякої точки О на вісі Z момент імпульсу частинки А дорівнює , а момент сили, що діє на частинку, . Моментом імпульсу відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора , визначеного відносно довільної точки О даної вісі. Моментом сили відносно вісі Z називають проекцію на цю вісь вектора , визначеного відносно довільної точки О на вісі. Рівняння моментів у проекціях на вісь Z буде мати вигляд:

.

Знайдемо аналітичні вирази для проекцій моменту імпульсу і моменту сили. Для цього знайдемо проекцію на вісь Z векторних добутків і . Скористаємося циліндричною системою координат r, j, z, зв'язавши з точкою А орти , які спрямовані убік зростання відповідних координат. У цій системі координат радіус-вектор і імпульс частинки зображаються так:

, ,

де р_r, p_j, р_z – проекції вектора на відповідні орти.

З векторної алгебри відомо, що векторний добуток може бути представлено визначником:

, ,

відкіля одержуємо формули для проекцій моменту імпульсу і моменту сили на вісь Z:

, ,

де r – найкоротша відстань частинки від вісі Z. Так як проекція імпульсу частинки на орт дорівнює , а , то в остаточному підсумку вираз для моменту імпульсу здобуває вигляд:

.

Моментом інерції точки відносно довільної вісі обертання називається фізична величина, яка дорівнює добутку маси точки на квадрат найкоротшої відстані від вісі обертання до лінії, уздовж якої спрямований вектор імпульсу:

.

З урахуванням останнього визначення формула для моменту імпульсу здобуває вигляд:

.

Продиференціюємо останнє рівняння за часом:

або

.

Отримане рівняння є другим законом Ньютона для руху точки по колу. У векторній формі воно має вигляд:

.

Розглянемо випадок, коли в процесі руху маса матеріальної точки змінюється. Нехай у деякий момент часу t маса тіла, що рухається, m і її швидкість . Через деякий час маса змінюється на , а швидкість збільшиться на . При цьому маса , що відокремилася, має швидкість щодо даного тіла. За ІІ законом Ньютона:

,

де – рівнодіюча зовнішніх сил, що діють на тіло.

Зв'яжемо ІСВ з тілом у момент часу t. В обраній СВ тіло в момент початку спостереження знаходиться в стані спокою. Визначимо зміну імпульсу системи тіл:

, .

Розділимо отриманий вираз на dt:

.

Так як , то після відповідної заміни одержуємо:

.

Отримане рівняння називають основним рівнянням динаміки точки змінної маси або рівнянням Мещерського. – реактивна сила, яка виникає внаслідок дії на тіло маси, що відокремлюється або приєднується. Після замін одержуємо основне рівняння динаміки при русі тіла змінної маси:

Окремі випадки застосування основного рівняння динаміки:

- нехай . У цьому випадку і основне рівняння динаміки приймає вигляд:

;

- нехай система замкнена :

, , .

Якщо у момент часу t тіло не рухається, то

, і – формула Ціолковського.

З формули Ціолковського випливає, що швидкість ракети спрямована протилежно швидкості вильоту газів (при ), не залежить від часу згоряння палива, а визначається тільки відношенням початкової маси ракети до маси, що залишилася.