Полярна система координат

Декартова система координат не єдиний спосіб визначати за допомогою чисел місце знаходження точки на площині. Для цієї мети використовують багато інших координатних систем.

Найважливішою після прямокутної системи координат є полярна система координат. Вона задається точкою О, яка називається полюсом, і променем Ор, який виходить з полюса і називається полярною віссю. Задаються також од иниці масштабу: лінійна – для вимірювання довжин відрізків і кутові – для вимірювання кутів (рис. 8.4). Нехай – відстань від точки О до точки М і – кут, на який треба повернути полярну вісь проти годинникової стрілки, щоб сумістити її з вектором .

Полярними координатами точки М називаються числа r і j. При цьому число r вважається першою координатою і називається полярним радіусом, а число j – другою координатою і називається полярним кутом. Точка М з полярними координатами r і j позначається так: . Очевидно, полярний радіус може набувати довільних невід’ємних значень: полярний кут вважатимемо таким, що змінюється в межах . Іноді розглядають кути j, більші від , а також від’ємні кути, тобто такі, що відкладаються від полярної осі за годинниковою стрілкою.

Виразимо декартові координати точки М через полярні.

Вважатимемо, що початок прямокутної системи збігається з полюсом, вісь Ох – з полярною віссю Ор. Якщо точка М (рис. 5) має декартові координати х і у і полярні r і j, то

, (8)

звідки

. (9)

Зауважимо, що друга з формул (9) дає два значення кута j, оскільки він змінюється від 0 до . З цих двох значень кута треба взяти те, для якого задовольняються формули (8). Формули (8) називають формулами переходу від полярних координат до декартових, а формули (9) – формулами переходу від декартових координат до полярних.

Приклад 3. Побудувати точки за полярними координатами: , і .

… Дані точки показано на рис. (6) †