Декартова прямокутна система координат

Якщо базисні вектори афінної системи координат є одиничними і взаємно ортогональними, тобто утворюють ортонормований базис, який записують через , , , де і , то система координат називається декартовою прямокутною системою координат. Вектори , , є відповідно ортами осей , , , які називаються – віссю абсцис, – віссю ординат, – віссю аплікат.

Так як декартова прямокутна система координат є афінною системою координат, то за теоремою 1. кожний вектор може бути єдиним способом розкладеним за декартовим прямокутним базисом , , , тобто для кожного вектора знайдеться єдина трійка чисел така, що справедлива рівність:

(5)

Числа у формулі (5) називаються декартовими прямокутними координатами вектора , причому перша координата називається абсцисою вектора , друга координата називається ординатою вектора , третя координата називається аплікатою вектора .

Як і в афінній системі координат визначають координати точки: якщо точка М – точка простору, то декартові прямокутні системи координати цієї точки збігаються з декартовими координатами її радіус-вектора , тобто запис рівносильний запису . За теоремою 2., якщо дано і , то

(6)

Теорема 3. Декартові прямокутні координати вектора дорівнюють проекціям цього вектора на осі , , , відповідно, тобто

, (7)

а вектори є складовими вектора на осі , , .

Зауваження. Система координат називається правою (лівою), якщо поворот на найменший кут від до , що спостерігається з кінця вектора , відбувається проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою). Аналогічно визначається права (ліва) система координат на площині (рис 2). Далі завжди розглядатимуться тільки праві системи координат.

Прямокутні координати точки на площині та на прямій визначаються таким самим способом, як і в просторі

Декартова прямокутна система координат на площині задається точкою О – початком координат і двома взаємно перпендикулярними одиничними векторами – базисом системи координат; система координат на прямій задається точкою О та одиничним вектором . Зрозуміло, що точка на площині має лише дві координати – абсцису та ординату, а точка на прямій – одну.

Приклад 2. Побудувати:

1) на координатній прямій Ох точки , ;

2) у прямокутній системі координат на площині Оху точки , , ;

3) у прямокутній системі координат у просторі Охуz побудувати точки , , .

… Побудову точок показано на рис. 3, а-в. †

Date: 2015-07-01; view: 726; Нарушение авторских прав