Нечеткая логика. Понятие о нечетких множествах

На основе теории о нечетких логиках в настоящее время создаются новые модели в таких областях как педагогика и психология, банковское дело и экономика.

Нечеткая логика возникла как наиболее удобный способ построения систем уравнений метрополитенами и сложными технологическими процессами, а также нашла применение в бытовой технике (стиральные машины, микроволновые печи).

Математический аппарат нечеткой логики был раз0работан в США. Активное развитие данного метода началось в Японии. Появился новый термин: fuzzy – “нечеткий”, “размытый”.

Нечеткая логика является многозначной логикой и этро позволяет определить промежуточные значения для таких общепринятых оценок как “да” / ”нет”, “истинно” / ”ложно”, “черное” / ”белое”. Выражения подобные таким как “слегка тепло”, “довольно холодно” возможно формулировать математически и обрабатывать на компьютерах.

Нечеткая логика появилась в 1965 году в работах Лотфи Задэ (профессор технических наук Калифорнийского университета). Задэ расширил классическое понятие множеств. Понятие “множество” давалось следующим образом: - Это набор элементов объединенных по какому то правилу. Правило называлось характеристическим свойством и если элемент удовлетворяет этому свойству, то он не принадлежит множеству. Т. е. допускается, что характеристическая функция может принимать значение 0, 1. Заде допустил, что характеристическая функция принимает значения [0; 1]. Такие множества были названы им нечеткими.

Заде определил ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных множеств логического вывода. Было введено понятие лингвистической переменной и допущено, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества.

Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление ближе по духу к человеческому мышлению и к естественным языкам, чем традиционные логические системы. Нечеткая логика обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличием математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель аддитивную реальности.

Самым главным понятием систем основанных на нечеткой логике является понятие нечеткого множества. Четкие множества являются подмножествами нечетких.

Пример: Рассмотрим множество молодых людей. B = {молодежь}, возраст начинается с 0. верхний предел определить на много сложней. Рассмотрим верхний предел 20. т.е. B=[0..20]. Возникает вопрос: почему на следующий день после 20-летия кто-то не является молодёжью? Очевидно это структурная проблема.

Мысль должна быть формализована, если рассуждения четкие (молодой, немолодой) то используются 0 и 1. Реально можно допустить бесконечное число значений между 0 и1 (I=[0..1]).

Для наглядности приведём характеристическую функцию множества молодых людей.

25 летние люди молоды со степенью 50%.

Более строгое представление о нечётких множествах (НМ)

Пусть Е - универсальное или несущее множество, х – элемент Е, R - некоторое свойство, тогда нечёткое подмножество А несущего множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар.

А={μ_A(x)/x}, где μ_A(x) – характеристическая функция принимающая значение 1 в том случае, если х полностью удовлетворяет свойству R и значениям от 0 до 1, если х не полностью удовлетворяет свойству R и 0, если х вообще не удовлетворяет свойству R.

Множество М называется множеством принадлежности, если М=[0..1], то А нечёткое множество, если М={0,1}, то А чёткое множество. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента множеству А.

Пример записи НМ.

Если Е состоит Е={x₁,x₂,x₃,x₄,x₅}М=[0,1], A – нечёткое множество для которого μ_A(x₁)=0,3, μ_A(x₂)=0, μ_A(x₃)=1, μ_A(x₄)=0,6, μ_A(x₁)=0,9. тогда множество А можно представить в виде:

А={0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,6/x₄; 0,9/x₅;}

Рассмотрим пример, когда универсальным множеством Е является множество машин.

Е={запорожец; жигули; мерседес; БМВ; феррари}

На основе универсального множества создаётся НМ А.

А=”машина для бедных”. Т.о. функция принадлежности для данного множества может выглядеть следующим образом:

Точно также можно построить на основе этого множества НМ «престижные», «среднего класса», «скоростные» и т.д.

В рассмотренных примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задаёт для каждого х€Е значение μ_A(x), либо определяет функции совместимости. При прямых методах используются также групповые прямые методы:

Например: Группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов – «человек лысый» или «не лысый». Тогда количество утвердительных ответов делённое на общее число экспертов даёт значение μ_лысый данного лица.

С НМ можно выполнять те же действия, что и с числовыми множествами но они достаточно сложнее выполняются.

Например: построить характеристическую функцию для множества А- множество детей в 11а классе способных к математике. В- множество детей в 11а классе способных к музыке. Изобразить сначала отдельно две характеристические функции для множества А (5 детей), В (4), затем построить пересечение этих двух множеств.

Пусть А и В НМ на универсальном множестве Е, говорят, что А содержится в В, если для любого х из Е μ_А(x)≤ μ_B(x) и обозначают А B.

Пример: А-множество чисел очень близких к 10, В-множество чисел близких к 10, тогда можно сказать, что А B.

Пересечением НМ А и В называется наибольшее нечёткое подмножество содержащееся одновременно в А и в В.

μ_{А B}(x)=min(μ_А(x), μ_B(x))

Объединением НМ А и В называется НМ обозначаемое А В, функция принадлежности которого определяется следующим образом:

μ_{A B}(x)=max(μ_А(x), μ_B(x)).