Понятие численного интегрирования. Нахождение интеграла методом прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона

. Геометрический смысл: если ф-я непрерывна на , и мы можем найти её первообразную F, то используется формула Ньютона-Лейбница =F(b)-F(a). Но дело в том, что:

1. F можно определить только для узкого круга ф-ций

2. Затраты на получение F(x) мб очень велики

3. Ф-я f(x) мб задана таблично

Поэтому используется численное интегрирование.

Пусть f(x) – вещественная ф-я, определенная на , разобьем её на интервалы , =a, =b

На каждом маленьком инт выберем , , и составим сумму: . , если предел существует.

Сумма S без предела – пример численного интегрирования, поскольку сумма отличается от истинного значения интеграла, можем оценить

, и - верхняя и нижняя суммы Дарбу, , .

,

Формул числ.интегрирования много, они отличаются друг от друга:

1) Выбором точек и

2) Скоростью сходимости

3) Оценкой погрешности

В общем случае точки - узлы, а разность между - весы, весы не зависят от f(x). Тогда можно составить: )

S=Q+R, R – погрешность вычисления интеграла, квадратурная формула. Считается, что она задана, если известно, как выбираются узлы в весах, и как считается погрешность R.

Метод прямоугольников.

Отрезок разбиваем на отрезки с шагом h, получаем набор , f(x) принадлежит с² (дважды дифференцируема)

Каждый разбивается пополам и берем точку , строим в этой точке прямую и находим точку её пересечения с f(x), проводим прямую FG, заменяем площадь ABCD на площадь AFGD. Мы можем записать:

,

От маленького отрезка можно перейти к , +

R= ,

Чем меньше шаг, тем выше точность.

Метод трапеций.

, =h>0, f(x) принадлежит с² (дважды дифференцируема)

На каждом отрезке строим хорду BC и площадь крив.тр ABCD заменяем на площадь прямоуг.тр ABCD.

R=

R= ,

Метод Симпсона.

, =h>0, f(x) принадлежит с⁴

Строим , к-ая в т. В,С,D совподает со знач f(x). Криволинейная трапеция со знач f(x) заменяем на криволинейную трапецию с , вычисляем площадь новой криволинейной трапеции.

Для тог, чтобы посчитать a,b,c вычислим:

f( ) =

Значения должны совпадать с .

Составим сумму:

f( + = /

Отсюда можем записать f( +

R= ,

На практике при выборе h для достаточно большого [a;b] необходим о выбрать максимальное знач шага таким образом,чтобы мы смогли вычислить площадь с заданной точностью.

Метод прямоугольника:

Метод трапеции:

Метод Сипсона:

В зав-ти от считаем h. Это знач h выбирается исходя из нахудшего поведения f(x) на

11.Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения. Задача Коши. Краевая задача. Решение ОДУ методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера, методом Рунге – Кутта, методами прогноза и коррекции. Решение ОДУ большого порядка. Решение систем ОДУ. Методы решения краевых задач.

Ур-ния, содержащие неизвестную ф-цию под знаком производной, называются дифференциальными уравнениями. Если ур-ние содержит одну независимую переменную и производную по ней, то оно называется обыкновенным, т.е. ОДУ. Решить ОДУ – это значит найти некоторую ф-цию, которая удовлетворяла бы как самому ур-нию, так, возможно, дополнительным условиям.

В зависимости от дополнительных условий различают задачу Коши и краевую задачу.

Для решения задачи Коши существует набор хорошо апробированных методов, а решение каждой отдельной краевой задачи может потребовать специфических подходов. Поэтому в классической вычислительной математике рассматривают вычисления задачи Коши, которую в простейшем случае можно рассмотреть следующим образом:

Задано ОДУ первого порядка: и начальное условие: y(x₀)=y₀. Требуется найти ф-цию, удовлетворяющую как уравнению, так и начальному условию.

Решение: 1).x₁=x₀+h; 2)tgα=f(x₀,y₀); 3)y=y₀=tgα(x-x₀); 4)x=x_1, y=y₁; 5)x₁y₁

Численные методы для решения этой задачи могут быть разбиты на две группы: одношаговые и многошаговые.