![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод хорд. Метод касательных
Нелинейное ур-е (НУ) в общем виде y=f(x), f(x;y)=0, x є Нахождение корней НУ делится на 2 этапа: 1. Отделение корней 2. Уточнение корней Корень ур-я f(x;y)=0 считается отделенным на Теорема 1: если f(x) непрерывна на Теорема 2: если f(x) непрерывна и монотонна на Отсюда следует, что если на концах отрезка знаки разные, то существует хотя бы 1 корень. В том случае, если знаки одинаковы, то возникают след варианты: 1. Касание (1 корень либо их нечетное кол-во) 2. Кривая не пересекает ось, корней нет. 3. Внутри отрезка ф-я пересекает ось Х четное кол-во раз Отделение корней: 1) 2) Рассматриваются все маленькие отрезки и определяются те отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки. В случае, если знак одинаковый, вычисляется
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Метод половинного деления.
f(c)=0 => с-корень, если нет, то
Метод хорд.
Шаг1. Строим стягивающую хорду между точками пересечения прямой x=a и f(x), x=b и f(x), ур-е хорды:
Чтобы найти координату с нужно: Шаг 2. Таким образом разделили отрезок на 2, выбираем из них тот, где ф-я на концах имеет разные знаки, концы обозначаем
Метод касательных. 1. определим точку пересечения х=А и f(x). Из этой точки ф-ции строим касательную, ур-е которой: 2. Ищем точку пересечения прямой х=А1 и f(x), из этой точки строим касательную к f(x) и вычисляем точку её пересечения с осью ОХ\ 3. Итерационный пр-с выполняется до тех пор, пока Для метода касательных характерно, что мы приближаемся к истинному значению корня только с одной стороны. Погрешность:
Решение систем нелинейных уравнений. Метод итерации, условие сходимости. Методы спуска. Метод покоординатного спуска. Метод градиентного спуска. Метод наискорейшего градиентного спуска. Метод Ньютона.
Первый этап: приближенные значения корней Второй этап: уточнение корней. Метод итерации:
Пускай к-либо способом мы преобразовали ур-е. начальное приближение мы подставляем в правую часть, получаем:
Строим итерационный пр-с, к-й сходится к решению в том случае, если все собственные числа |A|<1. Более слабое условие: сумма модулей коэф-тов столбцов дБ меньше 1. Этот ит пр-с заканчивается в том случае, когда разность между всеми неизвестными на (k+1)-шаге и на к-м шаге не будет превосходить заданного значения Погрешность решения можно оценить с пом формулы:
Методы спуска: Для всех этих методов характерно наличие ф-ции f такой, что при переходе от одной точки решения x0 к след x1 значение f уменьшится. Ф-я Ф-целевая ф-я и многие задачи по решению СНАУ сводятся к нахождению Ф. Можно заметить, что при значениях переменных xi, явл корнями системы, Ф=0. Это происходит только в идеальном случае. Для приближенного решения надо найти min Ф(х) на области определения. Задача по решению СНАУ сводится к задаче поиска экстремума ф-ции. Таким образом, идея методов спуска в том, чтобы из начальной точки Метод покоординатного спуска: Из исходной СНАУ составляем Ф и дано 1. Фиксируем все переменные, кроме 2. Фиксируем все пер, кроме Аналогично поступая, находим Метод градиентного спуска: Градиент – это вектор, к-й имеет направление нормали к пов-ти уровня Ф(x)=const в сторону возрастания ф-ции. Нам задано приблизительно Метод наискорейшего градиентного спуска: На каждой итерации меняется значение шага h. Можно определить зн-е Ф слева и справа.
Для того, чтобы на каждой итерации h был max возможным, необходимо, чтобы на этой итерации значение Ф max уменьшалось. Метод Ньютона: Для этого метода х0 дб достаточно приближенным к решению. Это разложение подставляем вместо исходной ф-ции Если исходные нелинейные ур-я были относительно Системе в матричном виде относительно вектора Получаем вектор перехода к нелин системе.
За решение исх системы берем 9. Понятие интерполяции. Виды интерполяции. Конечные и разделенные разности. Их свойства и применение. Интерполяция параболическими полиномами по методу Ньютона и методу Лагранжа. Понятие сплайн – интерполяции. Интерполяция сплайнами второго порядка. Интерполяция – это построение достаточно простой для вычисления ф-ции f(x), совпадающей в узлах со значениями исходной ф-ции f(x), а в остальных точках отрезка [a,b] приближенно представляющая функцию с заданной точностью. Различают в зависимости от решаемых задач несколько классов интерполяции ф-ции. Дана f(x): Нужно построить 1) Параболическая интерполяция В основе применения лежит теорема Вейерштрасса: если f(x) непрерывна на [a,b],то для любого сколь угодно малого 𝛆 существует полином В данном случае задача сводится к поиску полинома наименьшей степени k и требуемой точности совпадения. Самый простой путь поиска коэффициентов: 2) Интерполяция тригонометрическими полиномами m-порядок полинома. 3) Интерполяция показательными полиномами
Для поиска степени искомого полинома используем конечные разности. Ф-я f(x) задана таблично, узлы - равноотстающие конечные разности 1-го порядка. … Конечных разностей первого порядка на 1 меньше кол-ва узлов. Конечные разности 2-го порядка: Конечные разности k-го порядка: Свойства конечных разностей: 1. Конечные разности константы=0 2. 3. 4. При h Разделенные разности. В том случае, когда шаг переменный, используем разделенные разности.
k-й порядок: Свойства разделенных разностей эквивалентны свойствам конечных разностей Степень интерполяционного полинома в случае не равно отстоящих узлов выбираются таким образом, чтобы она совпадала с порядком разделенных разностей. ИП Лагранжа Пускай дана таблично заданная ф-я f(x), и мы установили, что искомый многочлен дБ степени k. Для построения полинома строится полином след.вида:
1. Степень i-го полинома влияния=k 2. I-й полином влияния в i-м узле=1. 3. I-й полином влияния во всех остальных узлах=0 В точке λ, которая не совпадает ни с одним узлом, погрешность равна: Теорема: существует единственный полином в степени k, проходящий через (k+1) точку плоскости, удовлетворяющий начальным условиям. Погрешность можно оценить следующим образом: К достоинствам полинома Лагранжа можно отнести тот факт, что коэф-ты полинома зависят только от узлов интерполяции, но в том случае, если добавлен хотя бы 1 узел, то придется пересчитывать все полиномы. Полином Ньютона. F(x): Строится с помощью разделенных разностей. Свойства: 1. Степень 2. В узлах полином совпадает с исходной ф-ей Положительные стороны: 1. Не требуется вычислять степень полинома. Можно взять 2-ю степень, построить, проверить погрешность, если не удовлетворяет, то повышаем степень до необх точности. 2. При добавлении новой k+1 точки, все найденные ранее коэф-ты сохраняются, а к полиному добавляется:
Сплайн-интерполяция. f(x) задана на Сплайн порядка n – функция, определенная на Пусть ф-я Sn на Параболическая сплайн-интерполяция Пусь f(x) задана таблично, S2(x)=S2i(x)= На каждом Для построения такого сплайна необходимо найти 3n коэф-та, все они находятся из след условий: 1. Совпадение сплайна на каждом отрезке с заданной ф-ей 2. Непрерывность первой производной в узлах. Равенство производных соседних полиномов в узле – условие для внутренних узлов. 3. Мы можем задать значение 1-й производной в x0 либо в xn. Этих условий достаточно, для определение единственного сплайна S2 на отрезке. Погрешность оценивается след образом:
Date: 2015-07-17; view: 747; Нарушение авторских прав |