Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Метод половинного деления. Метод хорд. Метод касательныхНелинейное ур-е (НУ) в общем виде y=f(x), f(x;y)=0, x є Нахождение корней НУ делится на 2 этапа: 1. Отделение корней 2. Уточнение корней Корень ур-я f(x;y)=0 считается отделенным на , если на этом отрезке содержится ровно 1 корень данного ур-я. Т.о., отделить корни – значит разбить всю ОДЗ на отрезки, в каждом из к-х существует только 1 корень. Аналитически для нахождения корня исп. теоремы из мат.анализа: Теорема 1: если f(x) непрерывна на и f(a)*f(b)<0, то внутри сущ.по крайней мере 1 корень ур-я f(x;y)=0. Теорема 2: если f(x) непрерывна и монотонна на и f(a)*f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится корень ур-я f(x)=0, и при том только 1. Отсюда следует, что если на концах отрезка знаки разные, то существует хотя бы 1 корень. В том случае, если знаки одинаковы, то возникают след варианты: 1. Касание (1 корень либо их нечетное кол-во) 2. Кривая не пересекает ось, корней нет. 3. Внутри отрезка ф-я пересекает ось Х четное кол-во раз Отделение корней: 1) разбивается на n частей, причем n дб достаточно большое, чтобы отрезки разбиения были малы 2) Рассматриваются все маленькие отрезки и определяются те отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки. В случае, если знак одинаковый, вычисляется . Такая же разность вычисляется для след уч-ка. Если для этих двух разностей выполняется: , то мы предполагаем, что на уч-ке существует корень типа касание. В этом случае мы проверяем величину значения ф-ции . Если оно мало, т.е. , то в этом случае мы считаем, что - корень ур-я.
Метод половинного деления.
f(c)=0 => с-корень, если нет, то , , из них берем тот, на кот-м f(a)*f(c)<0 или f(c)*f(b)<0. Обозначим новый отрезок как , находим с1 – середину и т.д. Таким образом строится итерационный пр-с, к-й заканчивается в том случае, когда , тогда за корень ур-я , погрешность данного метода не превышает , < Метод хорд.
Шаг1. Строим стягивающую хорду между точками пересечения прямой x=a и f(x), x=b и f(x), ур-е хорды: - эта прямая пересекает ось х в т.с Чтобы найти координату с нужно: Шаг 2. Таким образом разделили отрезок на 2, выбираем из них тот, где ф-я на концах имеет разные знаки, концы обозначаем , и для него проделываем те же самые процедуры, получаем , строим итерационный процесс, к-й продолжается до тех пор, пока не будет выполнено след условие: , x=cn. Погрешность метода: < Метод касательных. 1. определим точку пересечения х=А и f(x). Из этой точки ф-ции строим касательную, ур-е которой: . Отсюда можно найти точку пересечения касательной с осью Х – т. А1. 2. Ищем точку пересечения прямой х=А1 и f(x), из этой точки строим касательную к f(x) и вычисляем точку её пересечения с осью ОХ\ 3. Итерационный пр-с выполняется до тех пор, пока , x= . Для метода касательных характерно, что мы приближаемся к истинному значению корня только с одной стороны. Погрешность:
Решение систем нелинейных уравнений. Метод итерации, условие сходимости. Методы спуска. Метод покоординатного спуска. Метод градиентного спуска. Метод наискорейшего градиентного спуска. Метод Ньютона. F()=0 => Первый этап: приближенные значения корней Второй этап: уточнение корней. Метод итерации: начальные значения корня () Пускай к-либо способом мы преобразовали ур-е. начальное приближение мы подставляем в правую часть, получаем: => => Строим итерационный пр-с, к-й сходится к решению в том случае, если все собственные числа |A|<1. Более слабое условие: сумма модулей коэф-тов столбцов дБ меньше 1. Этот ит пр-с заканчивается в том случае, когда разность между всеми неизвестными на (k+1)-шаге и на к-м шаге не будет превосходить заданного значения и за решение можно взять решение, найденное на к+1 шаге. Погрешность решения можно оценить с пом формулы: , M=max() Методы спуска: Для всех этих методов характерно наличие ф-ции f такой, что при переходе от одной точки решения x0 к след x1 значение f уменьшится. Ф-я Ф-целевая ф-я и многие задачи по решению СНАУ сводятся к нахождению Ф. Можно заметить, что при значениях переменных xi, явл корнями системы, Ф=0. Это происходит только в идеальном случае. Для приближенного решения надо найти min Ф(х) на области определения. Задача по решению СНАУ сводится к задаче поиска экстремума ф-ции. Таким образом, идея методов спуска в том, чтобы из начальной точки перейти в таким образом, чтобы зн-я Ф уменьшилось. Этот итерационный пр-с можно повторять, но на каждом шаге зн-е Ф д уменьшаться. Этот ит пр-с заканчивается, когда . За решение можно взять вектор . Метод покоординатного спуска: Из исходной СНАУ составляем Ф и дано 1. Фиксируем все переменные, кроме , и находим min Ф на ООФ по переменной . Новое значение переменной : Ф . Значение Ф( уменьшилось, тк искали min Ф по координате . 2. Фиксируем все пер, кроме , находим min в ООФ, находим , так делаем n шагов. Перейдем от к : Ф и значение Ф в уменьшилось. Аналогично поступая, находим . Ф() Ф(, делаем так, пока . За решение берем вектор . Метод градиентного спуска: Градиент – это вектор, к-й имеет направление нормали к пов-ти уровня Ф(x)=const в сторону возрастания ф-ции. Нам задано приблизительно , выбираем шаг h>0. Строим ит пр-с: ). Поскольку стоит минус, то будем переходить в сторону убывания ф-ции, на каждом шаге зна-е Ф уменьшается. Так до тех пор, пока Метод наискорейшего градиентного спуска: На каждой итерации меняется значение шага h. Можно определить зн-е Ф слева и справа. ) )) Для того, чтобы на каждой итерации h был max возможным, необходимо, чтобы на этой итерации значение Ф max уменьшалось. )).На каждой итерации получается свое значение шага. Метод Ньютона: Для этого метода х0 дб достаточно приближенным к решению. Это разложение подставляем вместо исходной ф-ции Если исходные нелинейные ур-я были относительно , то преобразованную систему мы получили относительно . Системе в матричном виде относительно вектора : - линейная система. Получаем вектор перехода к нелин системе. - начальная точка для следующей итерации. За решение исх системы берем 9. Понятие интерполяции. Виды интерполяции. Конечные и разделенные разности. Их свойства и применение. Интерполяция параболическими полиномами по методу Ньютона и методу Лагранжа. Понятие сплайн – интерполяции. Интерполяция сплайнами второго порядка. Интерполяция – это построение достаточно простой для вычисления ф-ции f(x), совпадающей в узлах со значениями исходной ф-ции f(x), а в остальных точках отрезка [a,b] приближенно представляющая функцию с заданной точностью. Различают в зависимости от решаемых задач несколько классов интерполяции ф-ции. Дана f(x): Нужно построить 1) Параболическая интерполяция В основе применения лежит теорема Вейерштрасса: если f(x) непрерывна на [a,b],то для любого сколь угодно малого 𝛆 существует полином , такой что для любого х [a,b]: В данном случае задача сводится к поиску полинома наименьшей степени k и требуемой точности совпадения. Самый простой путь поиска коэффициентов: ищем в виде полинома. Для каждой заданной точки составляем равенство искомого полинома и значения ф-ции в узле. Получаем СЛАУ, при этом степень полинома должна соответствовать кол-ву уравнений +1. 2) Интерполяция тригонометрическими полиномами m-порядок полинома. 3) Интерполяция показательными полиномами - постоянная времени - придаточный коэф-т Для поиска степени искомого полинома используем конечные разности. Ф-я f(x) задана таблично, узлы - равноотстающие конечные разности 1-го порядка. … Конечных разностей первого порядка на 1 меньше кол-ва узлов. Конечные разности 2-го порядка: Конечные разности k-го порядка: Свойства конечных разностей: 1. Конечные разности константы=0 2. 3. 4. При h конечные разности первого порядка соответствуют , = и т.д. Разделенные разности. В том случае, когда шаг переменный, используем разделенные разности. , - первый порядок k-й порядок: Свойства разделенных разностей эквивалентны свойствам конечных разностей Степень интерполяционного полинома в случае не равно отстоящих узлов выбираются таким образом, чтобы она совпадала с порядком разделенных разностей. ИП Лагранжа Пускай дана таблично заданная ф-я f(x), и мы установили, что искомый многочлен дБ степени k. Для построения полинома строится полином след.вида: , где - многочлен Лагранжа 1. Степень i-го полинома влияния=k 2. I-й полином влияния в i-м узле=1. 3. I-й полином влияния во всех остальных узлах=0 В точке λ, которая не совпадает ни с одним узлом, погрешность равна: . Если искомая ф-я f(x)-полином, тогда погрешность=0. Теорема: существует единственный полином в степени k, проходящий через (k+1) точку плоскости, удовлетворяющий начальным условиям. Погрешность можно оценить следующим образом: К достоинствам полинома Лагранжа можно отнести тот факт, что коэф-ты полинома зависят только от узлов интерполяции, но в том случае, если добавлен хотя бы 1 узел, то придется пересчитывать все полиномы. Полином Ньютона. F(x): Строится с помощью разделенных разностей. Свойства: 1. Степень 2. В узлах полином совпадает с исходной ф-ей Положительные стороны: 1. Не требуется вычислять степень полинома. Можно взять 2-ю степень, построить, проверить погрешность, если не удовлетворяет, то повышаем степень до необх точности. 2. При добавлении новой k+1 точки, все найденные ранее коэф-ты сохраняются, а к полиному добавляется:
Сплайн-интерполяция. f(x) задана на таблично, весь отрезок разбит точками . Сплайн порядка n – функция, определенная на , такая, что на каждом ( задана полиномом Sni= Пусть ф-я Sn на имеет k непрерывных , тогда d=n-k – дефект сплайна. Параболическая сплайн-интерполяция Пусь f(x) задана таблично, S2(x)=S2i(x)= На каждом Для построения такого сплайна необходимо найти 3n коэф-та, все они находятся из след условий: 1. Совпадение сплайна на каждом отрезке с заданной ф-ей 2. Непрерывность первой производной в узлах. Равенство производных соседних полиномов в узле – условие для внутренних узлов. 3. Мы можем задать значение 1-й производной в x0 либо в xn. Этих условий достаточно, для определение единственного сплайна S2 на отрезке. Погрешность оценивается след образом: , h=max
|