Пример 3.6

Мы ранее решили эту задачу для нахождения напряженности с помощью принципа суперпозиции поля . Для нахождения потенциала эта задача решается легче, так как потенциал скалярная функция, а рассуждения аналогичны примеру 1.13. Пусть точка наблюдения находится на оси симметрии пластинки с координатой (рис.12).

Рис.12

Потенциал заряда пластины, удаленного на расстояние r от оси в точке равен:

.

Потенциал зарядов , расположенных на тонком кольце радиуса и ширины , определится суммированием потенциалов отдельных зарядов кольца:

,

где заряд, размещенный на кольце равен:

.

С учетом этого потенциал создаваемый зарядами кольца равен:

,

далее просуммируем потенциалы, создаваемые в точке всеми кольцами, на которые мы разбили пластину

.

Заметим, что в интеграле легко выделить дифференциал от подкоренного выражения знаменателя

Рассмотрим предельные случаи:

1) - потенциал поля однородно заряженной плоскости.

2)

- потенциал поля точечного заряда, помещенного в центр пластинки (использовали приближение малой величины : ).

3) Электрическое поле пластины можно получить, используя связь и

,

что совпадает с результатом, полученным в примере 1.13, в котором напряженность электрического поля на оси круглой однородно заряженной пластинки была получена с помощью принципа суперпозиции.