Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение, колеблющейся точки, как функцию ее координат, х, у, z и времени t.

. (1)

Это выражение должно быть периодическим как относительно времени t, так и относительно координат х, у и z.

Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси X и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от х и t:

.

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, имеют вид

.

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время ,

где v – скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

.

Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом:

. (78.2)

Величина ξ в (78.2) представляет собой смещение любой из точек с координатой х в момент времени t. При выводе формулы (78.2) мы предполагали, что амплитуда колебаний во всех точках одна и та же. В случае плоской волны это наблюдается, если энергия волны не поглощается средой.