Вращающийся Aвектор, равный сумме векторов A1 иA2 , изображающих соответственногармонические колебания1 - го грузикаотносительно 2- го грузикаи гармонические колебания 6 page

Выполнение равенства (2.112) в точке упругой среды с y координатой в данный момент

t времени возможно, если ω₁ и ω₂ циклические частоты гармонических (рис. 02.0.16) колебаний в упругой средеот соответственно И₁ и И₂ источников когерентных (2.20) колебаний равны друг другу, т.е. когда выполняется следующее соотношение: ω₁ = ω₂ = ω. (2.112) Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором существует устойчивое во t времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других точках пространства в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только когерентные волны, которые распространяются вдоль одного и того же или близких направлений.

При наложении когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными (рис. 02.0.26)

S₁, S₂ источниками гармонических колебаний, отклонения соответственно s₁ = s₁(r₁, t), s₂ = s₂(r₂, t) от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂ расстояниях от этих соответственно S₁, S₂ источников, с учетом (2.77) имеют следующий вид: s₁ = (a₁₀/r)cos(ωt - kr₁ + φ₁) = A₁cosФ₁; (2.113) s₂ = (a₂₀/r)cos(ωt - kr₂ + φ₂) = A₂cosФ₂. (2.114) Амплитуда A и Ф фаза результирующих гармонических колебаний (рис. 02.0.26) частиц упругой среды в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂ расстояниях от этих соответственно S₁, S₂ источников по аналогии с (2.18), (2.19) и с учётом (2.113), (2.114) имеют следующий вид: s = s₁ + s₂ = AcosФ, (2.115) где A² = A₁ ² + A₂ ² + 2A₁ A ₂ cos[Ф₂ - Ф₁] = A₁ ² + A₂ ² + 2A₁A ₂ cos [k(r₂ - r₁) - (φ ₂ - φ₁)];

tgФ = (A₁ sinФ₁+ A₂ sinФ₂)/(A₁ cosФ₁+ A₂cosФ₂); A₁, A₂ - амплитуды бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂ расстояниях от соответственно точечных S₁, S₂ источников когерентных сферических волн (2.76) волн; Ф₁, Ф ₂ - фазы бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂ расстояниях от соответственно точечных S₁, S₂ источников когерентных сферических волн (2.76) волн; k = ω/ v - волновое число, равное модулю k волновых k₁, k₁ векторов, перпендикулярных сферическим волновым фронтам от точечных S₁, S₂ источников когерентных сферических волн (2.76) волн и направленных от этих точечных S₁, S₂ источников в M точку упругой среды.

Поскольку разность начальных фаз φ ₂ - φ₁ = const (рис. 02.0.26) вблизи точечных S₁, S₂ источников когерентных сферических волн (2.76) волн, то результат интерференции двух бегущих продольных или поперечных волн в упругой среде в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂ расстояниях от этих точечных S₁, S₂ источников зависит от величины Δ = r₂ - r₁, называемой разностью хода волн.

В интерференционных минимумах A_min амплитуда результирующих колебаний в произвольный момент t времени в M точке, находящейся на r₁ и r₂ расстояниях от точечных (рис. 02.0.26) S₁, S₂ источников когерентных сферических гармонических волн по аналогии с(2.22) равна: A_min = | A₁ - A₂ |, а в интерференционных максимумах A_max амплитуда результирующих колебаний по аналогии с(2.23) равна: A_max = A₁ + A₂.

Интерференционные максимумы результирующих колебаний в произвольный момент

t времени наблюдаются в точках, находящихся на r₁ и r₂ расстояниях от точечных (рис. 02.0.26)

S₁, S₂ источников когерентных сферических гармонических волн, удовлетворяющих по аналогии с (2.26) и с учетом (2.115) следующему условию: k(r₂ - r₁) - (φ ₂ -φ₁) =kΔ - (φ ₂ - φ₁) = ±2mπ, (2.116) где m = 0,1,2,…,n - порядок интерференционного максимума.

Стоячая волна в непоглощающей упругой среде: уравнение смещений частиц упругой среды относительно положений равновесия

Уравнение (2.69) s₁ = s₁(y, t) бегущей акустической волны, распространяющейся вдоль положительного направления OY оси в закрытой с правой стороны трубе (рис. 02.0.27) при начальной

φ₀ = 0 фазе этой бегущей акустической волны имеет следующий вид: s₁ = Acos(ωt - ky). (2.118) От сечения (рис. 02.0.27) с произвольной y координатой продольная волна, имеющая в этом сечении с y координатой, например, область сжатия в газе и перемещающаяся вдоль положительного направления OY оси, проходит по направлению (рис. 02.0.16), (рис. 02.0.17)

k волнового вектора, k модуль которого в выражении (2.119) имеет значение k = ω/ v или k = 2π/λ, с v фазовой скоростью расстояние L -y до закрытой части трубы. Отражаясь от закрытой части трубы, т.е. более плотной упругой среды, отражённая продольная волна будет распространяться в отрицательную сторону OY оси с v фазовой скоростью.

При отражении от закрытой с правой стороны трубы фазовый угол продольной волны изменяется на π угол,п.ч. при падении на закрытую с правой стороны трубуобласти упругой среды, находящейся, например, в состоянии сжатия, эта область при отражении от более плотной упругой среды меняет направление своего вектора смещения частиц от положения равновесия на противоположное, т.е. эта область переходит за промежуток времени упругого удара о закрытую часть в состояние расширения.

Фазовый (2.69) угол Ф₁ бегущей (2.119) акустической волны, распространяющейся от

0 начала координат до сечения с y координатой по OY оси, в данный момент t времени будет иметь следующий вид: Ф₁ = ωt - ky. (2.119) Фазовый (2.70) угол Ф₂ бегущей акустической волны в том же сечении с y координатой и в тот же, что волна (2.118) момент t времени, получается сложением составляющей Ф₂₁ фазового угла при движении этой бегущей акустической волны на L -y расстояние до закрытой части трубы, далее сложением составляющей Ф₂₂ фазового угла вследствие отражения от закрытой части трубы, которая равна π рад, т.е. Ф₂₂ = π, далее сложением с составляющей Ф₂₃ фазового угла при распространении бегущей акустической волны нарасстояние L -y от закрытой части трубы до сечения с y координатой. Поэтому общий Ф₂ фазовый угол при распространении бегущей акустической волны от сечения с y координатой и последующим её возвращением в то же сечение с

y координатой после отражения от закрытой части трубы имеет следующий вид:

A₂ = ωt -(A₀ + A₂₁ + A₂₂ + A₂₃) = ωt - [ky + k(L – y) + π + k(L – y)] = ωt - k[y +2(L – y)]+ π, (2.120)

где (2.120) Ф₀ = ky - начальный фазовый угол бегущей (2.119) акустической волны распространяющейся от сечения с y координатой вдоль положительного направления OY оси в данный момент t времени.

Уравнение бегущей s₂ = s₂(y, t) акустической волны от сечения с y координатой и последующим её возвращением в то же сечение с y координатой после отражения от закрытой части трубы с учётом выражения (2.121) имеет следующий вид:

s₂ = Acos{ωt - k[y +2(L – y)] + π} = - Acos{ωt - k[y +2(L – y)]}. (2.121) Результирующее уравнение s = s(y, t) акустической волны в сечении с y координатой в произвольный момент t времени определяется суперпозицией бегущей (2.119) s₁ = s₁(y, t) акустической волны до сечения с y координатой и бегущей (2.121) s₂ = s₂(y, t) акустической волны от сечения с y координатой и последующим её возвращением в то же сечение с y координатой после отражения от закрытой части трубы.

С учётом выражений (2.118) и (2.121) результирующее уравнение s = s(y, t) акустической волны в сечении с y координатой в произвольный момент t времени определяется следующим выражением: s = s₁ + s₂ = Acos(ωt - ky) - Acos{ωt - k[y +2(L – y)]} = - 2Asink(L - y) sin(ωt - kL). (2.122) Уравнение (2.122) s = s(y, t) представляет собой уравнение стоячей акустической волны для случая нормального падения плоской акустической волны на плоскую границу более плотной упругой среды и состоит из двух частей: амплитудной - 2Asink(L - y) и временной sin(ωt - kL). Амплитудная - 2Asink(L - y) часть (2.122) уравнения не зависит от времени. Модуль

A_ст = |- 2Asink(L - x)| этой (2.122) амплитудной части определяет A_ст амплитуду стоячей волны, т.е. максимальное смещение частиц упругой средыот положения равновесия в произвольный момент

t времени в зависимости от y координаты волновой поверхности, в плоскости которой происходит колебания частиц упругой среды.