Вращающийся Aвектор, равный сумме векторов A1 иA2 , изображающих соответственногармонические колебания1 - го грузикаотносительно 2- го грузикаи гармонические колебания 5 page

Модули F_{yn+ Δs}, | F _yn | векторов соответственно F _{yn+ Δs} силы упругой деформации в правой чёрной стенки с y_n+ Δs координатой и F _y силы упругой деформации у левой зелёной стенки с y_n координатой, имеют с учётом (2.91) следующие значения: F_{yn+ Δs} = Sσ_{yn+ Δs}; | F _yn | = Sσ_yn,(2.93) где σ_{yn+ Δs}, σ_yn - напряжения (2.91), (2.93) в площадях поперечного сечения тонкого стержня, расположенных соответственно y_n+ Δs и y_n координатах, которые имеют положительные значения, поскольку малый ΔV объем тонкого стержня Δs длиной (рис. 02.0.22) во всех своих площадях поперечного сечения расширяется.

Подставляем (2.93) в (2.92) и получаем следующее выражение проекции II закона Ньютона на OY ось для m массы материала тонкого стержня ρ плотностью, заключённой в (рис.2.22) малом объеме ΔV = SΔs:

OY: ρSΔs(∂²s/∂t²) = F_{yn+ Δs} - | F _yn | ↔ ρSΔs(∂²s/∂t²) = S(σ_{yn+ Δs} - σ_yn) ↔ ρΔs(∂²s/∂t²) = σ_{yn+ Δs} - σ_yn. (2.94)

На малом промежутке от y_n до y_n+ Δs координат тонкого стержня σ(y) функция, которая представляет собой σ, Н/м² напряжение в S площади, расположенной в y_n ≤ y ≤ y_n+ Δs координате этого тонкого стержня, и σ'(y) производная от σ, Н/м² напряжения непрерывны, поэтому согласно теореме Лагранжа для разности σ_{yn+ Δs} - σ_yn напряжений, имеет место следующее выражение:

σ_{yn+ Δs} - σ_yn = (∂σ/∂у)[(y_n+ Δs) - y_n] ↔ σ_{yn+ Δs} - σ_yn = (∂σ/∂у)Δs. (2.95)

Подставляем (2.90) в (2.95) и получаем следующее выражение для разности

σ_{yn+ Δs} - σ_yn напряжений в площадях поперечного сечения тонкого стержня, расположенных соответственно y_n+ Δs и y_n координатах, т.е. (рис.2.22) в левой зелёной и правой чёрной стенках малого ΔV объема тонкого стержня Δs длиной, испытывающего в момент t_n времени расширение: σ_{yn+ Δs} - σ_yn = (∂σ/∂у)Δs ↔ σ_{yn+ Δs} - σ_yn = E[∂(∂s/∂y)/∂y]Δs ↔ σ_{yn+ Δs} - σ_yn = E(∂²s/∂y²)Δs. (2.96)

Подставляем (2.96) в (2.94) и получаем по аналогии с (2.84) акустической волной следующее одномерное волновое уравнение распространения продольных волн в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде:

E(∂²s/∂y²)Δs = ρΔs(∂²s/∂t²) ↔ ∂²s/∂y² = (ρ/E)(∂²s/∂t²) ↔∂²s/∂y² = (1/ v ²)(∂²s/∂t²), (2.97) где (E/ρ)^1/2 = v - фазовая (рис.2.21) скорость распространения продольной волны в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде в направлении k волнового вектора, перпендикулярного плоской поверхности S площадью поперечного сечения тонкого стержня.

Волновое уравнение, фазовая скорость распространения поперечных волн в гибком шнуре

перпендикулярном длине этого гибкого шнура.

Упругая поперечная волна в (рис. 02.0.23) натянутом с F силой гибком шнуре представляет собой последовательность малых s отклонений площади поперечного сечения гибкого шнура относительно положения равновесия в направлении k волнового вектора, т.е. вдоль этого гибкого шнура в положительную сторону OY оси.

Вследствие колебаний c (2.3) T = 2π/ω периодом гармонических колебаний (рис. 02.0.23) внешнего И источника,например, вибратора, y₀ - y₁ отрезок гибкого шнура, находящегося между поперечными сечениями этого гибкого шнура с y₀, y₁ координатами соответственно, в интервал времени от 0 до T/4 отклоняется вверх, т.е. в положительную сторону OZ оси. Участок гибкого шнура с y₀ координатой в момент t₁ = T/4 времени отклоняется (рис. 02.0.23) по OZ оси относительно положения равновесия на s_m максимальное или амплитудное значение.

В интервал (рис. 02.0.23) времени от T/4 до T/2 y₀ - y₁ отрезок гибкого шнура, находящегося между поперечными сечениями этого гибкого шнура с y₀, y₁ координатами соответственно, отклоняется вниз и в момент t₁ = T/2 времени участок гибкого шнура с y₀ координатой занимает положение равновесия.

Участок (рис. 02.0.23) гибкого шнура с y₁ координатой, вследствие наличия поперечных сил упругой деформации, приобретает от участков гибкого шнура, находящихся на y₀ - y₁ отрезке, т.е. от участков гибкого шнура, в котором происходит волновой процесс, вектор начальной скорости, направленный в положительную сторону OZ оси. Вследствие этого участок (рис. 02.0.23) гибкого шнура с y₁ координатой в момент t₁ = T/2 времени отклоняется по OZ оси относительно положения равновесия на s_m максимальное или амплитудное значение.

Согласно (рис. 02.0.2) представлению колебаний векторными диаграммами одному периоду

T = 2π/ω, где ω – циклическая частота гармонических колебаний, создаваемых И источником, соответствует приращение фазы колебаний этого И источника на 2π угол. За время T периода гармонических колебаний И источника поперечная волна (рис. 02.0.23) распространится вдоль гибкого шнура на расстояние от этого И источника, равное λ длине поперечной волны. За время распространения поперечной волн ы на λ расстояние И источник гармонических колебаний изменит фазу своих колебаний на угол 2π. Поэтому частицы в площади поперечного сечения гибкого шнура, имеющие расстояние между собой, равное λ длине волны и имеющие одинаковые s отклонения относительно положения равновесия, имеют различие по фазе колебаний этих частиц, равное 2π.

На рис. 02.0.24 по аналогии с рис. 02.0.22, где изображено приращение тонкого стержня малого ΔV объема Δs длиной и S площадью поперечного сечения, при распространении в нём продольной упругой волны,представлена отдельно от всего (рис. 02.0.22) гибкого шнура Δy малая деформированная длина этого гибкого шнура, испытывающего, например, в момент t_n времени отклонение относительно положения равновесия вверх, т.е. в положительную сторону OZ оси, на малую s величину. Вследствие малых s величин отклонений относительно положения равновесия частиц в площади поперечного сечения гибкого шнура, имеет место следующее выражение: ∂s/∂y = tgα ≈ sinα, (2.98)

где (рис. 02.0.23) α - малый угол отклонений площадей поперечного сечения гибкого шнура относительно положения равновесия при распространении в нём поперечной упругой волны.

Модуль F вектора F силы натяжения гибкого шнура при распространении в нём поперечной упругой волны постоянен, т.е. не зависит от y координаты площади поперечного сечения

F (y_n) силы реакции, имеющий проекцию F_Z(y_n) на OZ ось, а стороны правой части гибкого шнура приложен в y_n+ Δy координате вектор F (y_n+ Δy) силы натяжения, имеющий проекцию F_Z(y_n+ Δy) на OZ ось. Векторы F (y_n), F (y_n+ Δy) соответственно сил реакции, натяжения имеют равные F модули, но различные по причине деформации малой Δy длины гибкого шнура проекции F_Z(y_n), F_Z(y_n+ Δy) на OZ ось этих сил реакции, натяжения. Вследствие (рис. 02.0.24) этой деформации малой Δy длины гибкого шнура (рис. 02.0.23) малые α углы наклона относительно OY оси векторов F (y_n), F (y_n+ Δy) соответственно сил реакции, натяжения, направленных по касательной к деформированной малой Δy длине гибкого шнура, различны и зависят от y_n, y_n+ Δy координатсоответственно начала и конца деформированной малой Δy длины гибкого шнура.

В площади поперечного сечения гибкого шнура, находящемся в малом промежутке от

y_n до y_n+ Δy координат соответственно начала и конца деформированной малой Δy длины гибкого шнура, F_Z(y) функция, которая представляет собой проекцию F_Z(y) на OZ ось вектора F (y) силы натяжения в этой S гибкого шнура, и F_Z '(y) производная от F_Z(y) функции непрерывны. Поэтому согласно теореме Лагранжа приращение F_Z(y_n+ Δy) - |F_Z(y_n)| функции F_Z(y) на малом промежутке от y_n до y_n+ Δy координат имеет место следующее выражение:

F_Z(y_n+ Δy) - |F_Z(y_n)| = (∂F_Z /∂у)Δy, (2.100) где (рис. 02.0.24) "- |F_Z(y_n)| " - отрицательное значение (рис. 02.0.24) проекции F_Z(y_n) на OZ ось вектора F (y_n) силы реакции в площади поперечного сечения гибкого шнура, расположенной в y_n координате начала деформированной малой Δy длины гибкого шнура.

Проекция II закона Ньютона на OZ ось для m массы материала гибкого шнура ρ_п погонной

плотностью, заключённой в (рис. 02.0.24) малой Δy длине гибкого шнура, к которой приложены два вектора: вектор F (y_n) силы реакции в начале деформированной малой Δy длины гибкого шнура и F (y_n+ Δy силы натяжения в y_n+ Δy координате конца деформированной малой Δy длиныэтого гибкого шнура, имеет с учётом (2.100) следующий вид: OZ: ρ_пΔy(∂²s/∂t²) = F_Z(y_n+ Δy) + F_Z(y_n) ↔

↔ ρ_пΔy(∂²s/∂t²) = F_Z(y_n+ Δy) - |F_Z(y_n)| ↔ ρ_пΔy(∂²s/∂t²) =(∂F_Z /∂у)Δy↔ρ_п(∂²s/∂t²) =(∂F_Z /∂у), (2.101)

где ρ_п = ρ/S, кг/м - погонная плотность гибкого шнура, имеющего S площадь поперечного сечения и

ρ плотность материала, из которого изготовлен этот гибкий шнура; погонная ρ_п плотность протяжённого предмета - этомасса единицы длины этого протяжённого предмета; ∂²s/∂t² - проекция вектора ∂² s /∂t² ускорения на OZ ось (рис. 02.0.24) центра C деформированной малой Δy длины гибкого шнура при его перемещении на малое s отклонение относительно положения равновесия по OZ оси.

Подставляем (2.99) в (2.101) и получаем по аналогии с (2.97) продольными волнами в линейной однородной изотропной непоглощающей упругой среде следующее одномерное волновое уравнение распространения поперечных упругих волны в гибком шнуре, вдоль длины которого приложен вектор F силы натяжения с F модулем:

ρ_п(∂²s/∂t²) =∂[F(∂s/∂y)]/∂у ↔ ρ_п(∂²s/∂t²) =F∂[(∂s/∂y)]/∂у ↔

↔ ∂²s/∂y² = (ρ_п/F)(∂²s/∂t²) ↔ ∂²s/∂y² = (1/ v ²) (∂²s/∂t²), (2.102) где (F/ρ_п)^1/2 = v - фазовая (рис. 02.0.23) скорость распространения поперечных упругих волны в гибком шнуре, натянутого с F силой и имеющего ρ_п погонную плотность, в направлении k волнового вектора вдоль длины этого натянутого гибкого шнура.

Давление звука, интенсивность звуковой волны. Объемная плотность энергии упругих волн

Звуковое давление - это давление, возникающее при прохождении звуковой волны в жидкой и газообразной средах. Оно представляет собой переменную часть давления, т.е. колебания давления относительно среднего значения при прохождении звуковых волн в среде. Звуковое давление - главная количественная характеристика звука, основной объект акустических измерений. Единица измерения звукового давления в СИ - Ньютон на квадратный метр (Н/м²). Действующее значение звукового давления в воздухе изменяется в широких пределах - от 10^-5 Н/м² вблизи порога слышимости до 10³ Н/м² при самых громких звуках, например, шумах реактивного самолета. В воде на ультразвуковых частотах порядка нескольких МГц с помощью фокусирующих излучателей получают значение звукового давления до 10⁷Н/м².

В некоторой среде распространяется в направлении OY оси плоская продольная волна. В элементарном ΔV объёме частицы упругой среды совершают гармоничекие колебания, т.е

s отклонения (2.69) от положения равновесия в произвольный момент t времени. Скорость ∂s/∂t отклонений s от положения равновесия частиц упругой среды в произвольный момент t времени и их (2.90) относительная ∂s/∂y деформация от этого положения равновесия, определятся из (2.79) для плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления OY оси, из следующего выражения: ∂s/∂t = -Aωsin(ωt - ky+ φ₀); ∂s/∂y = Aksin(ωt - ky+ φ₀). (2.103) Кинетическая ΔW_k энергия в элементарном ΔV объеме m = ρΔV массой, где ρ - плотность упругой среды, имеющей в произвольный момент t времени ∂s/∂t скорость колебаний, с учетом (1.83) из раздела 01.0 " Физические основы механики " и (2.103) определяется из следующего выражения: ΔW_k = (ρΔV/2)(∂s/∂t)² = (ρΔV/2) A² ω² sin² (ωt - ky+ φ₀). (2.104) Потенциальная ΔW_p энергия в элементарном ΔV объеме, имеющего (2.90) относительную ∂s/∂y деформацию длины этого ΔV объема по OY оси с учетом связи фазовой v скорости продольной упругой волны с модулем E Юнга: E = ρ v ², а также с учётом и связи k волнового числа c циклической ω частотой и фазовой v скоростью: k = ω/ v, имеет следующий вид:

ΔW_p = (EΔV/2)(∂ s /∂y)² = (ρΔV v ²/2) A²k ²sin²(ωt - ky + φ₀) = (ρΔV/2) A²ω²sin²(ωt - ky+ φ₀). (2.105) Сумма (2.104) и (2.105) с делением на элементарный ΔV объём упругой среды приводит к следующему выражению w объемной плотности энергии бегущей продольной волны, т.е. энергии, содержащейся в единице объема упругой среды, в которой распространяется бегущая продольная волна: w = (ΔW_k + ΔW_p)/ΔV = ρA²ω²sin²(ωt - ky+ φ₀). (2.106) В случае поперечной волны для w объемной плотности энергии получается выражение, аналогичное (2.106). Из (2.106) следует, что w объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в каждый момент t времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке пространства, а для одномерного случая при одной и той же y = const координате согласно (2.106) w объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде изменяется с t временем пропорционально квадрату синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2, поэтому <w> среднее по t времени значение w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в каждой точке упругой среды определяется из следующего выражения: <w> = ρA²ω²/2. (2.107)

Вектор Умова - вектор плотности потока энергии упругих волн

Вектор v скорости переноса энергии волной равен вектору v скорости перемещения в пространстве поверхности, соответствующей максимальному значению w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде. Вектор v скорости переноса энергии для синусоидальных волн коллинеарен (рис. 02.0.17) k волновому вектору распространения волны в упругой среде сv фазовой скоростью и направлен этот вектор v скорости переноса энергии в одну сторону с k волновым вектором.

Энергия dW синусоидальной волны, проходящая (рис. 02.0.25) через элементарную поверхность dS площадью упругой среды, которая расположена под α углом к направлению вектора v скорости переноса энергии волной, т.е. расположена под α углом к направлению k волнового вектора, за элементарный промежуток dt времени определяется из следующего выражения: dW = w v dScosαdt= w( v d S)dt = wdS( v n )dt, (2.108) где v dScosα - объём энергии, прошедшей через элементарную поверхность dS площадью упругой среды за единицу t времени в направлении вектора v скорости переноса энергии волной;

w - объемная плотность энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде; n - единичный вектор нормали к элементарной поверхности dS площадью упругой среды; α - угол между к элементарной поверхности dS площадью упругой среды и вектором v скорости переноса энергииволной.

Потоком dФ_w энергии называется следующее отношение (2.108) энергии

dW синусоидальной волны к элементарному промежутку dt времени, за который эта dW энергия

Интенсивностью I волны называется модуль среднего значения по t времени вектора Умова. Интенсивность I волны численно равна энергии W синусоидальной волны, переносимой волной за единицу t времени сквозь поверхность единичной площадью, нормальной к направлению распространению волны, т.е. расположенной нормально к направлению k волнового вектора.

С учетом выражения (2.109) вектора u плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде, а также с учётом выражения (2.108) <w> среднего по t времени значения w объемной плотности энергии бегущей продольной или поперечной волны в упругой среде выражение для I интенсивности этих волн имеет следующий вид:

I = | < u > | = v <w> = ρ v A²ω²/2 кг/с³(Вт/м²). (2.110)

Когерентные волны в упругой среде. Интерференция этих волн

Две бегущие продольные или поперечные волны в упругой среде называются когерентными, если по аналогии с (2.20) разность их фаз (2.72) Ф₂ – Ф₁ в точке упругой среды с y координатой не зависит от времени и имеет следующий вид: Ф₂ – Ф₁ = (ω₂t - ky+ φ₂) - (ω₁t - ky+ φ₁) = const, (2.111) где ω₁ и ω₂ - циклическая частота гармонических колебаний (рис. 02.0.16), создаваемых соответственно

И₁ и И₂ источниками когерентных (2.20) колебаний, вследствие чего в точке упругой среды с

y координатой в данный момент t времени существуют когерентные волны; φ₁ и φ₂ – начальные (2.8) фазы колебаний в t₀ = 0 момент времени частиц упругой среды в точке с y = 0 координатой, т.е. в Пл. 1 плоскости равных фаз, где находятся (рис. 02.0.16)соответственно И₁ и И₂ источники гармонических когерентных (2.20) колебаний в упругой среде.