Вычисление тройного интеграла.

Тройной интеграл.

Понятие тройного (а в дальнейшем – т -мерного) интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δ v_i, считая объем каждой части равным Δ v_i, и составим интегральную сумму вида

, (25.1)

где точка P_i принадлежит Δ v_i. Пусть ρ – наибольшее расстояние между двумя точками любой части области V.

Определение. Предел при интегральных сумм (25.1), не зависящий от способа разбиения области V, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V: (25.2)

Замечание 1. Условие непрерывности подынтегральной функции не является обязатель-ным для существования кратного (двойного, тройного и т.д.) интеграла, но исследование вопросов, связанных с интегрированием разрывных функций, выходит за рамки нашего курса.

Замечание 2. Все сформулированные ранее свойства двойного интеграла можно распространить на тройной интеграл.

Замечание 3. Подобным образом можно дать определение интеграла любой кратности, рассматривая функцию п переменных, заданную в замкнутой области п -мерного пространства.

Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:

Определение. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если:

1) любая прямая, параллельная оси О z и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках;

2) вся область V проектируется на плоскость О ху в правильную двумерную область D;

3) любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).

z z=ψ(x,y)

V

z=χ(x,y)

O

a y

b y=φ ₁(x) D

y=φ ₂(x)

Рис.1.

Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=χ(x,y) и z=ψ(x,y) и проектирующуюся на плоскость О ху в правильную область D, внутри которой х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=φ ₁(x) и y=φ ₂(x) (рис.1). Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).

Определение. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

. (25.3)

Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.

1. Если область V разбить на две области V ₁ и V ₂ плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V ₁ и V ₂.

2. Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в области V, то верно неравенство. mV ≤ I_V ≤ MV,

где V – объем данной области, а I_V – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области V.

3. Трехкратный интеграл I_V от непрерывной функции f(x,y,z) по области V равен произведению его объема V на значение функции в некоторой точке Р области V: (25.4)

Вычисление тройного интеграла.

Теорема 1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (25.5)

Доказательство.

Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что

,

где - трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .

Используя формулу (25.4), предыдущее равенство можно переписать в виде:

.

Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим:

I_V = ,

что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.

Пример. Вычислим интеграл где V – треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость О ху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху – плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:

Множители, не зависящие от переменной интегрирования, можно вынести за знак соответствующего интеграла: