Свойства двойных интегралов.

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D, то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем (24.4)

2. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y), то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y), и при этом

(24.5)

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y), то

(24.6)

Докажем еще несколько свойств двойного интеграла:

4. Если область D разбита на две области D ₁ и D ₂ без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D, то

(24.7) Доказательство. Интегральную сумму по области D можно представить в виде:

где разбиение области D проведено так, что граница между D ₁ и D ₂ состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (24.7).

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) |, и имеет место неравенство

(24.8)

Доказательство.

откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (24.8)

6. где S_D – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M,

то (24.9)

Доказательство.

Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства

Следствие.

Если разделить все части неравенства (24.9) на D, можно получить так называемую теорему о среднем:

В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х₀, у₀), в которой f (х₀, у₀) = μ, то есть

-

- еще одна формулировка теоремы о среднем.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим тело V, ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость О ху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.

z=f(x,y)

z

V

y • P_i D Рис.2.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части Δ S_i области D, а высотами – отрезки длиной f (P_i), где точки P_i принадлежат Δ S_i. Переходя к пределу при , получим, что

(24.11)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), а снизу – областью D.