Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.

Рассмотрим область D, ограниченную линиями x = a, x = b (a < b), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [ a, b ]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси О у и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает границу области в двух точках: N ₁ и N ₂ (рис.1). Назовем такую область правильной в на-

у правлении оси О у. Аналогично определя-

y=φ ₂(x)ется область, правильная в направлении

N ₂оси О х. Область, правильную в направле-

нии обеих координатных осей, будем на-

D зывать просто правильной. Например,

правильная область изображена на рис.1.

y=φ ₁(x) N ₁

O a b x

Рис.1

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D. Рассмотрим выражение

, (24.12)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D. Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у, считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х:

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b. В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 1. Если область D, правильная в направлении О у, разбита на две области D ₁ и D ₂ прямой, параллельной оси О у или оси О х, то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D ₁ и D ₂:

. (24.13)

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D ₁ и D ₂, правильные в направлении О у. Тогда

+

+

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении О у области D ₁ и D ₂ (рис.2). Обозначим через M ₁ (a ₁, h) и M ₂ (b ₁, h) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D.

y Область D ₁ ограничена непрерывными линиями

y=φ ₂(x) 1) y = φ ₁(x);

D ₂ 2) кривой А ₁ М ₁ М ₂ В, уравнение которой запишем

h M ₁ M ₂ y = φ ₁*(x), где φ ₁*(х) = φ ₂(х) при а ≤ х ≤ а ₁ и

A ₁ D ₁ B b ₁ ≤ x ≤ b, φ ₁*(х) = h при а ₁ ≤ х ≤ b ₁;

3) прямыми x = a, x = b.

Область D ₂ ограничена линиями y = φ ₁*(x),

A у = φ ₂(х), а ₁ ≤ х ≤ b ₁.

y=φ ₁(x) Применим к внутреннему интегралу теорему о

разбиении промежутка интегрирования:

O a a ₁ b ₁ b

Рис.2.

+

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ + .

Поскольку φ ₁*(х) = φ ₂(х) при а ≤ х ≤ а ₁ и b ₁ ≤ x ≤ b, первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

I_D = , то есть .

Следствие. Таким же образом можно разбить область D на любое число правильных областей. При этом двукратный интеграл по области D будет равен сумме интегралов по частичным областям.

Замечание 1. Используя теорему 1 и теоремы о среднем для определенного интеграла, можно доказать, что для двукратного интеграла справедливы соотношения:

(24.14)

где т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значение функции f(x, y) в области D, а S – площадь этой области, и

I_D = f(P)S, (24.15)

где Р – точка, принадлежащая области D.

Замечание 2. Более употребительной формой записи двукратного интеграла является

= (24.16)

Теорема 2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x, y) по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по данной области, то есть

. (24.17)

Доказательство.

Разобьем область D прямыми, параллельными координатным осям, на п правильных (в основном прямоугольных) областей Δ S ₁, Δ S ₂,…, Δ S_n. Тогда по теореме 1

.

Из (24.15) получим: , где справа стоит интегральная сумма, предел которой равен двойному интегралу от f по области D, а слева – постоянное число I_D. Переходя к пределу при , получим равенство (24.17).

Пример. Вычислим двойной интеграл от функции z = x + y по области, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (0,0), (0,1) и (1,0) (рис.3).

у Здесь а = 0, b = 1, φ ₁(x) = 0, φ ₂(x) = 1 – x.

Тогда

1 D

O 1 x

Рис.3.