Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом

Рис. 3. Нивелирная сеть

Исходные данные:

Н_А = 100,000 м; Н_В = 115,000 м - отметки исходных пунктов.

h (м): 5,023; 10,012; 9,990; -10,005 - измеренные превышения.

S (км): 2; 4; 4; 2 - длины ходов.

p_i = c/S_i: 2; 1; 1; 2 - веса результатов измерений (с = 4).

В данной нивелирной сети число измерений n = 4, число необходимых измерений t = 2. Два параметра х₁ и х₂ - отметки вновь определяемых пунктов.

Параметрические уравнения связи составим по формуле:

F_i(x₁, x₂,..., x_t) - y_i = ν_i.

1) (H_A - x₁) - h₁ = ν₁; 3) (H_B - x₂) - h₃ = ν₃;

2) (x₂ - x₁) - h₂ = ν₂; 4) (x₁ - x₂) - h₄ = ν₄

- параметрические уравнения связи.

Определим приближенные значения параметров:

х⁰₁ = Н_А - h₁ = 94,977 м; x⁰₂ = H_B - h₃ = 105,010 м.

x₁ = х⁰₁ + δх₁ и x₂ = x⁰₂ + δx₂ подставим в систему параметрических уравнений связи.

1) (H_A - x⁰₁ - δx₁) - h₁ = ν₁; 3) (H_B - x⁰₂ - δx₂) - h₃ = ν₃;

2) (x⁰₂ + δx₂ - x⁰₁ - δx₁) - h₂ = ν₂; 4) (x⁰₁ + δx₁ - x⁰₂ - δx₂) - h₄ = ν₄.

Переходим к параметрическим уравнениям поправок:

Свободные члены l_i = F_i(x₁⁰, x₂⁰,..., x_t⁰) - y_i, (i = 1, 2,..., n) выразим в сантиметрах или в миллиметрах для того, чтобы порядок коэффициентов и свободных членов был одинаков.

1) - δx ₁ + l ₁ = v ₁; l ₁ = H_A - x⁰ ₁ - h ₁ = 0;

2) δx ₂ - δx ₁ + l ₂ = v ₂; l ₂ = x⁰ ₂ - x⁰ ₁ - h ₂ = 2,1 см;

3) -δx₂ + l₃ = v₃; l₃ = H_B - x⁰₂ - h₃ = 0;

4) δx₁ - δx₂ + l₄ = v₄; l₄ = x⁰₁ - x⁰₂ - h₄= -2,8 см.

Переходим к системе нормальных уравнений:

Коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок поместим в табл. 10.

Таблица 10

Таблица параметрических уравнений поправок

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решение системы нормальных уравнений с определением элементов обратной матрицы выполним в схеме Гаусса (табл. 10).

Таблица 11

Решение нормальных уравнений

Контроль δх _j: Контроль Q_ij: 2 · 0,364 + 0,273 - 1 = 0,001;

2 · 0,700 - 1,400 = 0. 2 · 0,273 + 0,455 - 1 = 0,001.

Вычислим значение параметров:

x₁ = x₁⁰ + δx₁ = 94,9840 м; x₂ = x₂⁰ + δx₂ = 104,9960 м.

Вычислим уравненные результаты измерений, делаем контроль уравнивания (табл. 12).

Таблица 12

Уравненные превышения. Контроль уравнивания

Сделаем оценку точности результатов измерений по материалам уравнивания:

- средняя квадратическая ошибка единицы веса (превышения по ходу в 4 км).

- средняя квадратическая ошибка на 1 км хода.

Оценку точности параметров и функции параметров выполним с использованием элементов обратной матрицы

по формулам (38) и (37):

- обратный вес первого параметра.

см - средняя квадратическая ошибка первого параметра.

- обратный вес второго параметра.

см - средняя квадратическая ошибка второго параметра.

- весовая функция - второе уравненное превышение.

- коэффициенты функции.

- обратный вес функции.

см - средняя квадратическая ошибка функции.