Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом

Для определения координат пунктов В и Д в геодезическом четырехугольнике (рис. 2) измерено равноточно (р_i = 1) восемь углов между сторонами и диагоналями. Результаты измерений помещены в табл. 5.

Рис. 2. Геодезический четырехугольник

Таблица 5

Результаты измерений

Определим число независимых условных уравнений.

Число необходимых измерений в линейно-угловой сети равно удвоенному числу вновь определяемых пунктов, t = 2 · 2 = 4. Число избыточных измерений

r = n - t = 8 - 4 = 4.

В геодезическом четырехугольнике имеют место четыре независимых условных уравнения, 3 - условных уравнения фигур и 1 - полюсное.

Составим условные уравнения связи.

Условное уравнение фигур: сумма углов плоского треугольника после уравнивания минус 180° равна нулю.

Обозначим β_i = i. Для трех треугольников, например, ΔАВС, ΔАДС, ΔАВД условные уравнения фигур будут иметь вид:

1. 5 + ν ₅ + 2 + ν ₂ + 3 + ν ₃ + 4 + ν ₄ - 180° = 0;

2. 8 + ν₈ + 1 + ν₁ + 6 + ν₆ + 7 + ν₇ - 180° = 0;

3. 1 + ν₁ + 2 + ν₂ + 3 + ν₃ + 8 + ν₈ - 180° = 0.

Полюсное условное уравнение: отношение сторон, сходящихся в одной точке (полюсе), после уравнивания равно единице. Если полюс - точка А, то

По теореме синусов, отношение сторон заменяют отношением синусов противолежащих углов:

Составим условные уравнения поправок.

Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Для перехода к условным уравнениям поправок следует вычислить невязки, которые равны суммам измеренных углов в треугольнике минус 180°.

1) ν₅ + ν₂ + ν₃ + ν₄ + w₁ = 0; w₁ = 5 + 2 + 3 + 4 - 180°= -2,0″;

2) ν₈ + ν₁ + ν₆ + ν₇ + w₂ = 0; w₂ = 8 + 1 + 6 + 7 - 180°= +2,1″;

3) ν₁ + ν₂ + ν₃ + ν₈ + w₃ = 0; w₃ = 1 + 2 + 3 +8 - 180°= -3,4″.

Полюсное условное уравнение связи приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора

.

.

Частная производная функции Ф ₄ по аргументу β ₅ (углу числителя):

Частная производная функции Ф ₄ по аргументу β ₆ (углу знаменателя):

Частная производная функции Ф₄ по аргументу β₈ (углу числителя и знаменателя):

С учетом размерности поправок и невязки полюсное условное уравнение поправок имеет вид:

Умножив на ρ ″, получим

Определение коэффициентов Δ_i и невязки w″₄ полюсного условного уравнения выполним на ПК по программе Polus.exe. Исходной информацией к программе являются углы числителя и знаменателя полюсного условного уравнения (табл. 6).

Таблица 6

Вычисление Δ_i и w″₄

w″₄ = +2,67″.

Полюсное условное уравнение поправок принимает вид:

4) 1,38 ν₅ + 0,68 ν₇ + 1,88 ν₃ - 0,05 ν₄ - 0,95 ν₆ - 2,40 ν₈ + 2,67 = 0.

Составим весовую функцию.

Пусть

- дирекционный угол стороны АВ, вычисленный по результатам уравнивания.

Итак, получена следующая система условных уравнений поправок:

(24)

Таблица 7

Коэффициенты условных уравнений и функции

и весовая функция:

Коэффициенты условных уравнений и функции поместим в табл. 7.

Дальнейшее решение задачи выполните на ПК по программе KORREL.EXE. Таблицу коэффициентов условных уравнений вводите по столбцам.

Выпишите с экрана:

1. Значения поправок к результатам измерений в столбец ν табл. 7.

2. Среднюю квадратическую ошибку измерения - m.

3. Обратный вес 1/P_F и среднюю квадратическую ошибку функции - m_F.

Вычислите уравненные значения углов и сделайте контроль уравнивания.