Решение нормальных уравнений способом обращения

Умножив систему нормальных уравнений N_ttX_t1 + B_t1 = 0 на обратную матрицу N^-1

получают:

(34)

(35)

- решение нормальных уравнений способом обращения.

По определению обратной матрицы, N^-1N = E. Это равенство используется для обоснования способа определения элементов обратной матрицы. Пусть t = 2.

Отсюда следует:

- 1-я система весовых нормальных уравнений.

- 2-я система весовых нормальных уравнений.

В общем случае в результате подобных действий получится t систем весовых нормальных уравнений по t уравнений в каждой системе. Эти системы имеют такую же матрицу коэффициентов, как и основная, с неизвестными δх_j и отличаются от нее только столбцами свободных членов. В j-ом уравнении j-ой системы свободный член равен -1, остальные равны нулю. Системы весовых нормальных уравнений решают параллельно с основной системой, в общей схеме, с использованием дополнительных столбцов для свободных членов этих систем (табл. 9).

Таблица 9

Определение элементов обратной матрицы в схеме Гаусса

Для контроля вычисленные значения элементов обратной матрицы Q_ij подставляют в суммарные уравнения, составленные для весовых систем. Например, для t = 2 эти уравнения будут иметь вид:

([ paa ] + [ раb ]) Q ₁₁ + ([ pab ] + [ pbb ]) Q ₁₂ - 1 = 0;

([ paa ] + [ pab ]) Q ₂₁ + ([ pаb ] + [ pbb ]) Q ₂₂ - 1 = 0.

Для предварительного контроля служат равенства Q_ij = Q_ji (i ≠ j).

Элементы обратной матрицы Q_ij называют весовыми коэффициентами.