Понятие о непрерывности функции.

Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке (см формулу (1)). Функция

не определена при Δt= 0. Но для числа L = v₀ — gt₀ при уменьшении |Δt| разность v_ср(Δt) - L приближается к нулю. Именно поэтому мы писали v_ср(Δt) → v₀ — gt₀ при Δt→0. Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стремящемся к x₀, если разность f(x) - L сколь угодно мала, т. е. |f(x) – L| становится меньше любого фиксированного hɬ при уменьшении |Δх|, где Δх = х—x₀. (Значение х=x₀ не рассматривается, как и в задаче определения мгновенной скорости.)

Вместо х→ x₀ можно, конечно, писать Δх→ 0.

Нахождение числа L по функции f называют предельным переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях.

Первый случай — это предельный переход в разностном отношении Δf/Δx, т. е. нахождение производной. С этим пунктом мы познакопились в пункте производная.

Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Если f(x) → f (х₀) при х→ x₀, то функцию называют непрерывной в точке х₀. При этом f(x) - L = f (x) - f (х₀) = Δхf; получаем, что |Δf| мало при малых |Δх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке х₀соответствуют малые изменения значений функции. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения графиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших случаях такое исследование проводят на основании определения

Метод интервалов.

На свойстве непрерывных функций, рассмотренном ранее (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Опишем его.

Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.

Предельный переход.

Операция предельный переход служит новым средством нахождения неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться.

Выделим правила предельного перехода, которые доказываются в курсах математического анализа.

Правило 1. Если функция f непрерывна в точке x₀, то Δf→0 при Δx→0.

Правило 2. Если функция f имеет производную в точке х₀, то Δf/Δx→f'(x₀) при Δx→0.

Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х₀ и производной в точке x₀.

Правило 3. Пусть f (x)→A, g{x)→B при x→x₀. Тогда при х→x₀ (т. е. при Δx→0):

а) f(x) + g(x)→A + B;

б) f(x)•g(x)→A•B;

в) f(x)/g(x)→A/B (при B≠0).

Для непрерывных функций f u g

А = f (х₀), В = g (х₀)

и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке хо функций непрерывны в точке х₀ (частное в случае, когда g(x₀)≠0).

Правила предельного перехода широко используются при доказательстве непрерывности функций и выводе формул дифференцирования.

Вопрос 13.