Интерполяция. Алгоритм линейной интерполяции по методу оценочной функции.

Интерполяция – это получение или расчет координат промежуточных точек траекторий движения настроечной точки инструмента на плоскости или в пространстве.

Известно несколько методов интерполяции, среди которых наиболее распространены: метод оценочной функции, метод цифровых дифференциальных инициализаторов, метод кодовой интерполяции.

Алгоритм, основанный на методе оценочной функции, моделируется алгебраическое уравнение воспроизводимой линии. Сущность метода состоит в том, что после шага по какой-либо управляемой координате, вычисляется вспомогательная функция F. Знак этой функции определяет направление следующего шага. Причем перемещения в результате этого шага приближает обрабатываемую траекторию к воспроизводимой линии.

Рассмотрим прямую, проходящую через начало координат и определяемое уравнение: ax+by=0

С формальной точки зрения, вместо нуля можно подставить F: ax+by=F, т.е. если F=0 мы лежим на прямой, если F не равно нулю, то мы находимся на прямой.

Берем на прямой точку1(х₀, у₀). Если из точки 1 перейти в точку 2 (х₀+1, у₀), то отклонение от прямой будет составлять: F_x=a(x₀+1)+by₀=a. Аналогично если сделать шаг по у: F_у=ax₀+b(y₀+1)=b. При переходе из точки 2 в точку 3 (x₀+1, у₀+1) получим отклонение от прямой: F_x+ F_у= a(x₀+1)+b(y₀+1)=a+b.

Если определить область под прямой F<0, а над прямой F≥0, то при переходе в точку 2 функция становится отрицательной.

Если записать в общем виде выражение введя число шагов по коорд. x–n, y–m

F=nF_x+ mF_у= –na+mb,

F(ij)=–x_ix_k+y_jy_k, – ур. оценочной функции для прямой линии

F(i+1, j)=–(x_i+1)x_k+y_jy_k = –x_ix_k–x_k+y_jy_k=F(ij)–x_k

F(i, j+1)=F(ij)+у_k