Модель Блэка-Скоулза [1].

Если временной интервал между испытаниями становится бесконечно малым, т. е. торговля, в сущности, происходит непрерывно, то биномиальная модель становится моделью Блэка-Скоулза. Исходной предпосылкой модели выступает нормальное распределение вероятностей.

На базе этой посылки составляется основная формула модели (относительно европейского опциона «колл»):

, (3.29)

где – стоимость опциона (в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это стоимость инвестиционного проекта);

– текущая стоимость базисного актива (в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это текущая стоимость товаров (работ, услуг), реализация (оказание, выполнение) которых и принесет предполагаемый доход от инвестиционного проекта (или же совокупные доходы от инвестиционного проекта));

– цена исполнения опциона (в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – совокупные расходы на реализацию инвестиционного проекта);

= 2,7183;

, – вероятности того, что при нормальном распределении со средней величиной равной нулю и стандартным отклонением равным единице, результат будет соответственно меньше и ^[1][7];

; (3.30)

; (3.31)

где – безрисковая процентная ставка;

– дивидендная доходность по базисному активу (в случае, когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании – это дивиденды, которые выплачиваются акционерам (в процентах), в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – дивидендная доходность равна стоимости задержки реализации инвестиционного проекта (в процентах). Например, у компании есть возможность осуществить определенный инвестиционный проект в течение следующих 10 лет. Сумма совокупных доходов от этого проекта напрямую зависит от того, в какой момент в течение этих 10 лет, компания начнет реализацию проекта, т. е. каждый год (день, месяц) будет означать потерю части доходов от проекта. В этом случае отсрочка равная 1 году в реализации инвестиционного проекта приведет к потере 10% доходов. Таким образом, дивидендная доходность будет равна 10%. В случае, когда отсрочка в реализации инвестиционного проекта в рамках срока действия опциона не повлияет на совокупные доходы (не приведет к потерям доходов) от проекта, дивидендная доходность равна нулю);

– стандартное отклонение вероятностей ( – дисперсия) (в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это дисперсия совокупных доходов от инвестиционного проекта);

– срок действия опциона, годы (в случае, когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта – это количество лет, в течение которого еще возможна реализация инвестиционного проекта).

Пример. [1].

У компании есть возможность начать и осуществить определенный инвестиционный проект в течение следующих 15 лет. Стоимость затрат на запуск и осуществление этого инвестиционного проекта составляет 550 000 ден. ед. Приведенная стоимость доходов, которые могут быть получены от реализации этого проекта оценивается в 450 000 ден. ед. Но существует вероятность того, что продукция выпускаемая в рамках этого проекта будет пользоваться большим спросом. В таком случае, денежные потоки по проекту могут возрасти. Дисперсия денежных потоков оценивается в 0,25. Безрисковая ставка процента составляет 8%. Дивидендная доходность равна 0.

Необходимо определить стоимость реального опциона, которым обладает компания, используя модель Блэка-Скоулза.

Решение:

- стоимость базисного актива = приведенная стоимость доходов от проекта = = 450 000 ден. ед.;

- цена исполнения опциона = стоимость запуска и осуществления проекта = = 550 000 ден. ед.;

- срок действия опциона = = 15 лет;

- дисперсия стоимости базисного актива = = 0,25;

- дивидендная доходность по базисному активу = = 0;

- безрисковая ставка процента = = 8%.

Сначала рассчитаем и :

= = 1,4843

= = - 0,4522

= 0,9311, = 0,3256

Теперь рассчитаем стоимость опциона:

= = 365 078,74 ден. ед.

Основные трудности, которые могут возникнуть при применении этой модели, связаны с получением достоверных исходных данных, необходимых для расчета (время до реализации заложенных в проекте возможностей, значение дисперсии и т. д.).

Использование модели Блэка—Шоулза осложнено тем, что в расчетах всегда будет присутствовать множество параметров, которые носят оценочный характер, к примеру, значение приведенной стоимости денежных потоков от реализации оцениваемой возможности, значение дисперсии и т. д.

Не стоит надеяться получить значимые результаты от применения даже самой новейшей формулы. Необходимо глубокое понимание метода и данных, используемых для расчета.

Вопрос определения размера дисперсии может быть решен путем формирования нескольких вариантов денежных потоков в зависимости от ряда факторов. На основании полученных данных о колебании объема поступления денежных средств был рассчитан показатель дисперсии, который использовался в модели Блэка—Шоулза.

Таким образом, формула Блэка—Шоулза подходит для оценки простых реальных опционов, имеющих единственный источник неопределенности и единственную дату решения.

Оценка стоимости реальных опционов с помощью биномиального метода при достаточно большом количестве дат принятия решений на протяжении года будет близка к значению, полученному с использованием модели Блэка—Шоулза.

Модель Блэка—Шоулза и биномиальная модель математически эквивалентны. Но поскольку при традиционном экономическом анализе используется такая модель, как «дерево принятия решений», то биномиальная модель представляется нагляднее и проще для применения. Основной ее недостаток — громоздкость расчетов и вычислений, но вместе с тем она позволяет учесть все дополнительные факторы и сценарии развития проекта.