Биномиальная модель [1].

В основе модели лежат два допущения: в одном интервале времени могут быть только два варианта развития событий (худший и лучший); инвесторы нейтрально относятся к риску.

Биномиальные модели предполагают, что основная случайная переменная (цена базисного актива, лежащего в основе опциона) характеризуется биномиальным распределением. Применение биномиальных моделей к ценообразованию опционов подразумевает моделирование цены актива, лежащего в основе опциона, как биномиального процесса для определения распределения этой переменной на момент исполнения. Затем рассчитывается будущая стоимость опциона и дисконтируется к настоящей (текущей) стоимости. Таким образом, определяется текущая цена опциона.

Допустим, что в конце года цена базисного актива либо поднимется, либо упадет по сравнению с первоначальным уровнем:

Рисунок 3.2. Одноуровневое биномиальное дерево цены базисного актива и стоимости опциона

На рисунке 1 введены следующие условные обозначения:

– стоимость базисного актива в начальный момент времени;

– стоимость базисного актива через единичный период времени в случае повышения цены;

– стоимость базисного актива через единичный период времени в случае понижения цены;

– стоимость опциона в начальный момент времени;

– цена исполнения опциона;

– цена опциона через единичный период времени в случае повышения стоимости базисного актива (как она рассчитывается, указано чуть ниже);

– цена опциона через единичный период времени в случае понижения стоимости базисного актива (как она рассчитывается, указано чуть ниже).

Заметим, что – это коэффициент движения вверх стоимости базисного актива (1 + относительный прирост стоимости), а – это коэффициент движения вниз стоимости базисного актива (1 – относительное падение стоимости). При этом накладывается условие, что стратегия вложения средств в опционы является безрисковой и ставка дохода по опциону также является безрисковой.

Расчет справедливой стоимости опциона в рамках одноуровневой биномиальной модели производится по следующей формуле:

, (3.25)

где – стоимость опциона;

– цена опциона через единичный период времени в случае повышения стоимости базисного актива (Цена опциона «колл» в таком случае будет равна разнице между стоимостью базисного актива через единичный период времени и его текущей стоимостью, стоимость опциона «пут» в таком случае равна нулю, т. к. исполнять его не имеет смысла. Предполагается, что цена исполнения опциона – текущая стоимость базисного актива.);

– цена опциона через единичный период времени в случае понижения стоимости базисного актива (Цена опциона «пут» в таком случае будет равна разнице между текущей стоимостью базисного актива и его стоимостью через единичный период времени, стоимость опциона «колл» в таком случае равна нулю, т. к. исполнять его не имеет смысла. Предполагается, что цена исполнения опциона – текущая стоимость базисного актива.);

– коэффициент движения вверх стоимости базисного актива (1+относительное прирост стоимости базисного актива);

– коэффициент движения вниз стоимости базисного актива (1– относительное падение стоимости базисного актива);

– коэффициент наращения по безрисковой ставке (1+безрисковая ставка процента).

Упростим приведенное выше выражение, приняв за вероятность повышения цены базисного актива, а вероятность понижения цены за :

, (3.26)

, (3.27)

(3.28)

В приведенных выше рассуждениях предполагалось, что время между настоящим моментом и моментом исполнения опциона было разделено лишь на один период. Однако биномиальный подход можно обобщить таким образом, что срок действия опциона может быть разделен на любое количество временных периодов или биномиальных испытаний.

Независимо от количества биномиальных испытаний используется один и тот же принцип для нахождения стоимости опциона в каждом узле дерева, начиная от момента исполнения опциона к настоящему временному периоду и, таким образом, к текущей цене опциона.

Пример. [1].

Необходимо определить стоимость реального европейского опциона «колл» (или же стоимость инвестиционного проекта), которым обладает компания. Реальный опцион состоит в возможности реализации инвестиционного проекта по производству и реализации наукоемкой продукции.

Исходные данные:

- предполагаемое движение вверх цены базисного актива = движение вверх стоимости наукоемкой продукции = 70%;

- предполагаемое движение вниз цены базисного актива = движение вниз стоимости наукоемкой продукции = 40%;

- текущая стоимость базисного актива = цена исполнения опциона = совокупные расходы на реализацию проекта = стоимость наукоемкой продукции (или же совокупные доходы от проекта) = 10 ден. ед.;

- безрисковая процентная ставка = 8%.

Решение:

Для начала рассчитаем вероятность повышения цены базисногоактива (наукоемкой продукции):

= = 0,4364 (или 43,64%)

= 56,36%

Исходя из условий задачи, в случае повышения цены, базисный актив (наукоемкая продукция) через единичный период времени будет стоить на 70% больше или 17 ден. ед., т. е. цена опциона «колл» составит 7 ден. ед. (17 – 7 = 7), т. к. именно такую прибыль принесет его исполнение.

Исходя из условий задачи, в случае понижения цены, базисный актив (наукоемкая продукция) через единичный период времени будет стоить на 40% меньше или 6 ден. ед., цена опциона в таком случае будет равна нулю (т. к. смысла его исполнять не будет).

Для определения стоимости опциона (инвестиционного проекта) применим формулу, приведенную выше:

= = 2,83 ден. ед.