Независимость от посторонних альтернатив

Если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Свой результат, известный также как «теорема о невозможности», Эрроу получил, выдвинув в качестве непременных условий выбора абсолютно естественные, даже ключевые признаки демократии. Эти условия сводятся к следующим положениям.

Во-первых, выбор должен быть определён в той же системе, в которой сформулирована и сама альтернатива выбора (аксиома гомогенности). То есть если мы выбираем президента, то мы должны отдать предпочтение тому кандидату, который, по нашему мнению, лучше всех будет управлять страной, а не тому, который лучше всех выглядит (что было бы логично на конкурсе красоты).

Во-вторых, выбор должен зависеть от индивидуальных предпочтений голосующих и, кроме того, быть универсальным, то есть давать ответ при любых предпочтениях членов сообщества (аксиома универсальности). Первое предполагает, что если предпочтения части индивидов изменятся, то общественный выбор должен учесть эти изменения, второе помогает избегать замкнутых циклов.

В-третьих, при единогласном предпочтении одного варианта общественный выбор должен указывать на него (аксиома единогласия). То есть если все голосуют за Петрова, то избран должен быть он, а не Сидоров, за которого никто не отдал свой голос. (Как может получиться обратное, описано у Кондорсе)

И наконец, выбор не должен зависеть от посторонних альтернатив, не участвующих в выборе, т. е. избиратели должны определять свои предпочтения между избираемыми альтернативами, исходя только из качеств выбираемых вариантов, а не под давлением тех или иных групп влияния либо других, не имеющих отношения к выбору, факторов (аксиома независимости). Последнее, в частности, предполагает, что если надо выбрать между Петровым и Сидоровым, то голосующий руководствуется тем, какой из них двоих для него предпочтительнее, а не тем, что он, к примеру, голосовал бы за Иванова, если бы он был в числе альтернатив.

Как выяснил Эрроу, всем перечисленным условиям в совокупности отвечает только диктаторски, но не демократический выбор. Иными словами, нужно выбрать какого-нибудь произвольного члена общества и осуществлять общественный выбор в соответствии с предпочтениями этого «эталона». Других рациональных с точки зрения математической науки правил не существует.

Получается, что не существует рациональных правил общественного выбора, учитывающих мнение всех членов общества; другими словами, общественный выбор не может быть последовательно компромиссным.

Невозможность одновременного соблюдения требований разумности и равенства, невозможность эффективного ранжирования социальных приоритетов получила наименование теоремы невозможности, или теоремы Эрроу.

Теорема Эрроу отчасти объясняет, почему общепринятые правила общественного выбора — процедуры голосования — нетранзитивны, то есть если, например, голосующий предпочитает Иванова Петрову, а Петрова Сидорову, то вполне может случиться, что в результате голосования Сидоров займёт место выше Иванова.