Задание систематических сверточных кодов

Систематические СК задаются:

- с помощью порождающей матрицы, G_¥;

- с помощью проверочной матрицы, Н_¥;

- с помощью разностных треугольников;

- с использованием совершенных разностных множеств.

(2)

,

G¥ =

Порождающая матрица систематического СК имеет более сложное построение, чем группового кода. Это определяется из-за полубесконечной структуры порождающей матрицы СК, имеющей вид:

где "0" - области матрицы, состоящие полностью из нулевых двоичных символов,

m - количество порождающих матриц вида

n0 столбцов

,

k0 строк

(3)

Gx=

где q_i,j – коэффициенты равны либо 1, либо 0.

 

.

G*¥=[I,G0]=

1 0... 0 q1ko+1 ... q1no 0 1... 0 q2ko+1 ... q1no   ...   0 0... 1 qkoko+1 ... qkono ...

или

(4)

G**¥=[I,G0]=

0 0... 0 q1ko+1 ... q1no 0 0... 0 q2ko+1 ... q1no   ...   0 0... 0 qkoko+1 ... qkono ...

Систематический ССК задаются следующей порождающей матрицей:

Проверочная матрица Н_¥ СК, как и порождающая матрица, является полубесконечной:

(5)

,

·

·

1. I0

n0

N

H¥=

Ф

Ф

Ф

где n₀=k₀+l, l₀=n₀-k₀, N=m+l,

a. Ф

- совокупность проверочных подматриц, имеющих форму треугольника.

Порождающая и проверочная матрицы СК, как и у линейных кодов, связаны выражением: G_¥*H^T_¥= G_¥*H^T_¥=0.

k0 столбцов

n0 - k0 строк

(6)

H¥ =

HD1,ko+1 HD2,ko+1... HDko,ko+1 HD1,ko+2 HD2,ko+2... HDko,ko+2   ...   HD1,no HD2,no... HDko,no

Для систематического ССК с алгоритмом порогового декодирования проверочная матрица H_¥ задается следующим образом:

Из данной проверочной матрицы следует, что для ССК с проверочная матрица Н_¥ содержит строк и столбцов проверочных треугольников. Для ССК с , проверочная матрица Н_¥ содержит , т.е. один столбец и строку проверочных треугольников.

HDj,I =

,

Каждый из проверочных треугольников Н^D_{i,k0+i ,} ; проверочной матрицы H_¥ в общем случае имеет вид:

где q - коэффициенты равные либо 1, либо 0;

, - номера соответственно строки и столбца матрицы Н_¥, которыми определяется проверочный треугольник;

0,...m - порядковые номера степеней, в которые возводятся соответствующие коэффициенты порождающего полинома.

Основную информацию о самоортогональных сверточных кодах ССК несут коэффициенты левого столбца и нижней строки проверочного треугольника. Например, пусть задан проверочный треугольник следующей структуры:

HDj,i=HD1,1 =

.

n0=2

n2=3

n6=4

n7=5

По данному проверочному треугольнику можно определить параметры ССК с алгоритмом ПД:

1. Поскольку задан один проверочный треугольник, то k₀=1, n₀=k₀+l=2, R= k₀/n₀ =1/n₀;

2. Так как k₀=1, то ССК задается одним порождающим полиномом, определяемым коэффициентами левого столбца и нижней строки проверочного треугольника.

3. Количество ненулевых членов порождающего полинома определяет число проверочных уравнений , . Следовательно, ССК может исправлять ошибки и обнаруживать ошибки;

4. Строки проверочного треугольника, которые начинаются с ненулевых двоичных символов, формируют проверочные уравнения, размеры данных проверок и номера позиций информационных и проверочных символов, участвующих в формировании проверочных уравнений. Для данного примера имеем: s₀=i₀+e_p.0, s₁=i₀+i₂+e_p.2, s₂=i₀+i₄+i₆+e_p.6, s₃=i₀+i₁+i₅+i₇+e_p.7.