Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства определителейСвойство 1. Величина определителя не изменяется, если все его строки заменить столбцами с тем же номером. = (Для доказательства достаточно расписать оба определителя и сравнить) Свойство 1 означает равноправность строк и столбцов определителя. Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) равносильна умножению определителя на (-1). Свойство 3. если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен 0. Согласно свойству 2 при перестановке двух одинаковых строк знак должен поменяться, т.е. = - 2 = 0 =0. Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или строки на некоторое число , не равное 0, равносильно умножению определителя на . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки или столбца можно вынести за знак определителя.
а а а а а а а а а = а а а а а а а а а Для доказательства заметим, что определитель выражается в виде суммы, каждый член которой содержит один и только один элемент из каждой строки и каждого столбца. Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или строки равны 0,то определитель равен 0. ( Доказательство: это свойство есть частный случай предыдущего). Свойство 6. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов пропорциональны, то определитель равен 0.
а а а а а а = а а а = а а а = ×0=0. (по свойству 3 и 4) а а а а а а Свойство 7. Если каждый элемент n-го столбца (или n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (n-ой строке) имеет первые слагаемые, а другой - вторые. Элементы, стоящие на остальных местах этих определителей - одинаковые. (Проверить применением правила треугольника к правой и левой частям). Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на некоторый общий множитель , отличный от 0, то величина определителя при этом не изменится. Свойство вытекает из 7 и 6. Это свойство позволяет при вычислении определителя больше третьего порядка понижать порядок определителя. а + а а а а а а а а а а + а а а = а а а + а а а = + × 0 = а + а а а а а а а а а Для рассмотрения дальнейших свойств определителей введем понятия минора и алгебраического дополнения. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путём вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента определителя равняется минору этого определителя, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечётное: = . Свойство 9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца или строки на их алгебраические дополнения. (Такая сумма называется разложением определителя по элементам строки или столбца). = = + + = + . А11 - алгебраическое дополнение элемента a . Свойство 10. Сумма произведений элементов, какого либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю. , i j Доказательство: Заменим элементы на , получим . Аналогично можно записать все суммы.
|