Основные операции над матрицами и их свойства.

Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

1. Сложение матриц (только одинаковых порядков).

A= ; i= ; j= ;

B= ; i= ; j= ;

Суммой матриц А и В называется матрица C= , имеющая те же порядки, что и слагаемые матрицы, элементы которой :

= + , i= , j= .

+ = .

Из определения операции сложения матриц следует, что она обладает свойствами операций сложения вещественных чисел:

1) A+B=B+A -коммутативность

2) (A+B)+C=A+(C+B) – ассоциативность

2. Умножение матриц на число.

Пусть l -вещественное число.

A= ; i= ; j= ;

Произведением матрицы A на число l называется матрица C= ; i= ; j= , элементы которой: C=lA=Al

Свойства операции умножения на число:

1). (λµ)А = λ(µА) – ассоциативность по отношению к вещественному множителю.

2). λ(А+В) = λА+λВ – дистрибутивность по отношению к сложению матриц.

3). (λ+µ)А = λА+µА – дистрибутивность по отношению к сложению чисел.

3. Разность матриц А и В вводится следующим образом:

С = А – В = А + (-1)В,

т. е. используя уже определенные операции сложения и умножения на число.

4. Перемножение матриц.

Пусть А = ║a_ij║, (m×k)

B = ║b_ij║, (k×n)

Определение. Две матрицы называются сцепленными, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Операция перемножения определена только для сцепленных матриц.

Определение. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица

C = ║c_ij║, (m×n), элементы которой определяются следующим образом: C_ij= . Обозначение: С=АВ

Правило перемножения матриц: элемент c_ij, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы С, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы А и j -го столбца матрицы В.

Оба произведения АВ и ВА можно определить лишь в том случае, если число столбцов А совпадает с числом строк В, а число столбцов В – с числом строк А. При этом обе матрицы-произведения С₁ и С₂ будут квадратными, но различного порядка.

Для того, чтобы оба произведения имели один порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы А и В были квадратными одного порядка.

Пример:

А= В = С=АВ= =

Из определения произведения матриц вытекает следующие свойства произведения матриц:

1. (АВ)С=А(ВС) -- ассоциативность

2. (А+В)С=АС+ВС или А(В+С)=АВ+АС – дистрибутивностьотносительно сложения матриц

(Это свойство вытекает из определения и из формулы сложения)

3. В общем случае АВ≠ВА, умножение матриц не коммутативно.

Произведение матриц не коммутативно и для квадратных матриц одного порядка:

, а

Но есть частные случаи, когда произведение матриц коммутативно.

Среди квадратных матриц выделим класс диагональных матриц (все элементы вне главной диагонали равны нулю).

Если все d_i=d, то для любой квадратной матрицы А порядка n: АD=DA

Доказательство: Пусть C_ij и C_ij^/ - элементы матриц АD и DA => C_ij=a_ij∙d_j=a_ij∙d, C_ij^/=d_i∙a_ij=da_ij =>

=> C_ij= C_ij^/

d=1 – единичная матрица ≡ Е (аналог единицы при перемножении вещественных чисел)

d=0 – нулевая матрица ≡ О (нулевая матрица может быть и не квадратной)

АЕ=ЕА АО=ОА.

Определители

Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем.

Определение: Пусть дана квадратная матрица из четырех чисел.

.

Число а₁b₂ - а₂b₁ называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице.

Обозначается:

Числа а₁, а₂, b₁, b₂ называются элементами определителя.

Элементы а₁, b₂ лежат на главной диагонали определителя, а элементы а₂, b₁ - на побочной диагонали.

а₁ и а₂ – элементы первой строки.

b₁ и b₂ - элементы второй строки.

а₁ и b₁ - элементы первого столбца.

а₂ и b₂ – элементы второго столбца.

Пусть дана квадратная матрица из девяти чисел: a₁₁ a_{12 …} a₃₃:

А=

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице А, называется число = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ –

- a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃.

Число a_ij называется элементом определения, при этом первый индекс – i – указывает номер строки, а второй – j - номер столбца, которым принадлежит данный элемент. Говорят, также, что элемент a_ij находится на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Элементы a₁₁ a₂₂ a₃₃ – образуют главную диагональ определителя, а a₁₃ a₂₂ a₃₁ – побочную диагональ.

Правила вычисления определителя 3-го порядка:

1. Правило Саррюса:

Нужно взять сумму произведений трех элементов, зачеркнутых прямыми. При этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали, берутся со знаком (+), а три произведения, соответствующих прямым, параллельным побочной диагонали, берутся со знаком (-).

2. Номера строк располагаются в порядке возрастания превого индекса, а номера столбцов – перестановки чисел 123:

123, 231, 312 | 321, 132, 213.

3. Правило треугольника.

(со знаком +) (со знаком -)

= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₂₃ a₃₂ a₁₁ – a₃₃ a₁₂ a₂₁