Достаточные условия существования определенного интеграла (без доказательств)

Определение определенного интеграла, необходимое условие его существования

Определение:

Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы, которая не зависит от способа разбиения и выбора точки

Определение:

Если и он конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Необходимое условие интегрируемости функции:

Теорема:

Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке [a,b], т.е. mи M: m ≤ f(x) ≤ M

Доказательство:

f(x) интегрируема на [a,b] =>

Предположим, что f(x) не является ограниченной на [a,b], т.е. , Выбираем .

Из этого следует, что не конечен, что противоречит определению интегральности функции. Ч.Т.Д.

Вопрос 2:

Достаточные условия существования определенного интеграла (без доказательств)

Критерий интегрируемости функции:

Для того что бы f(x) была интегрируема на отрезке [a,b], необходимо и достаточно что бы

Достаточные условия интегрируемости функции (классы интегрируемых функций):

Т1: Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема (1 класс интегрируемых функций)

Т2: Если f(x) кусочно непрерывна на отрезке [a,b] (т.е. имеет на отрезке конечное число точек разрыва 1 рода), то она интегрируема (2 класс интегрируемых функций)

Т3: Если f(x) является монотонной на отрезке [a.b], то она интегрируема (3 класс интегрируемых функций)

Вопрос 3

Основные свойства определенного интеграла:

1) Если f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема на отрезке [b,a] и справедливо равенство:

2) (по определению)

3)