Теорема об изменении количества движения материальной точки

Пусть материальная точка M массы m движется под действием силы F, имея в данный момент скорость V (рисунок 2.1, а).

а б

Рисунок 2.1

Построим вектор количества движения q = m ⊗ v.

По второму закону динамики для свободной материальной точки имеем

m ⊗ a = F. (2.1)

Так как масса материальной точки m – величина постоянная, а ускорение

a = dV/dt, (2.2)

то равенство (2.1) можно представить в виде

d (m ⊗ V) /dt = F. (2.3)

Выражение (2.3) является формой основного закона динамики (2.1). Первоначально он был записан Ньютоном именно в подобной форме. Формула (2.3) представляет собой содержание теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку.

Проецируя векторное равенство (2.3) на декартовы оси координат, получаем равенства, определяющие содержание теоремы в скалярном виде:

d (m ⋅ V_x) /dt = X; d (m ⋅ V_y) /dt = Y; d (m ⋅ V_z) /dt = Z, (2.4)

т.е. производная по времени от проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось равна проекции на эту же ось действующей на точку силы.

Умножив обе части равенства (2.3) на элементарный промежуток времени dt, получим выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в другой дифференциальной форме:

где S - импульс силы,

т.е. дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на эту точку.

Пусть движущаяся материальная точка в начальный момент t = 0 находилась в положении M ₀ и имела скорость V ₀, а в момент t приходит в положение M и имеет скорость V (рисунок 2.1, б). Тогда, проинтегрировав равенство (2.5) в пределах соответствующего перемещения точки (из положения M ₀ в положение M), получим

или

Полученное равенство (2.6) представляет собой теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):

изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно полному импульсу действующей на эту точку силы за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения выражает, таким образом, тесную

связь, которая имеет место между импульсом силы как меры ее действия во времени и количеством движения как меры механического движения.

Проецируя равенство (2.6) на декартовые оси координат:

получаем выражения (2.7) для теоремы об изменении проекции количества движения в конечной форме (в скалярном выражении):

изменение проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса действующей на точку силы за тот же промежуток времени.

Уравнения в проекциях (2.7) чаще всего применяются при решении задач динамики точки на изменение количества движения.

Рассмотрим следствия теоремы:

1) если F = 0, то m ⊗ V = C = const, или m ⊗ V = m ⊗ V ₀ - имеем закон сохранения количества движения.

2) если X = 0 (F≠ 0 ), то m ⋅ V_x = C, или m ⋅ V_x = m ⋅ V _{0 x} - имеем закон сохранения проекции количества движения на ось.

То есть если на материальную точку не действует какая-либо сила (проекция действующей силы на какую-либо ось равна нулю), то вектор количества движения точки (проекция количества движения точки на эту же ось) со временем не изменяется.

Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения

Количеством движения материальной точки называется векторная величина равная произведению массы точки на ее скорость. Направлен вектор так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории.

Импульс силы. Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени

Элементарным импульсом силы называется векторная величина равная произведению силы F на элементарный промежуток времени

Направлен элементарный импульс вдоль линии действия силы.

Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.

Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времени равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до

В частном случае, если сила F постоянна и по модулю, и по направлению то Причем в этом случае и модуль В общем случае модуль импульса может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

Вопрос 28

Вопрос 29

Вопрос 30:

Вопрос31:

Движение материальной точки под действием центральной силы. Закон площадей.

Движение точки под действием центр. силой происходит с постоянной секторной скоростью, то есть радиус вектор точки относительно центра силы в равные промежутки времени описывает равные площади (закон площадей).

Вопрос 32: Формулы Бине.

1.

2.

Вопрос 33:

Законы Кеплера. Движение спутников по эллиптическим орбитам

В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546-1601) Кеплер (1571-1630) эмпирически установил три закона планетных движений, которые формулируются следующим образом:

Первый закон: Орбиты всех планет являются эллипсами, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Второй закон: Движение каждой планеты происходит так, что радиус-вектор, проведённый из центра Солнца к планете, за равные промежутки времени покрывает равные площади.
Третий закон: Квадраты периодов обращения различных планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей эллипсов орбит.

Теория движения планет, изложенная Кеплером, полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями). Приведенная анимация показывает движение спутника по эллиптической орбите. Мы можем видеть на этой анимации, что в соответствии с первым законом Кеплера, Земля расположена в одном из фокусов орбиты и, в соответствии со вторым законом Кеплера, спутник движется быстрее в перигее (ближайшая к Земле точка орбиты), чем в апогее (наиболее удалённая от Земли точка орбиты). На анимации изображена высокоэллиптическая орбита, используемая спутниковой телекоммуникационной системой "Молния". В отличие от геостационарной орбиты, спутники на эллиптических орбитах могут "видеть" полюса Земли. В апогее спутник как бы зависает над Землёй, обеспечивая в течение нескольких часов связь внутри того района Земли, над которым он расположен. Затем спутник уходит из апогея, и его заменяет новый спутник, движущийся по той же орбите. Таким образом, над выделенным участком Земли обеспечивается устойчивая и непрерывная телекоммуникационная связь. (См. также раздел о спутниковой системе "Иридиум", состоящей из 66 низкоорбитальных спутников).

Вопрос 34:

Задача двух тел

К рассмотренной выше задаче динамики точки в поле центральной силы

сводится так называемая задача двух тел.

Рассмотрим две тяготеющих массы c m и p m (рис. 12.7).

Вопрос 35.

Невозмущенное движение центра масс космического аппарата.

Вопрос 36.

Уравнение возмущенного движения центра масс космического аппарата. Элементы орбиты.

Вопрос 37