Теорема Вариньона. Центр параллельных сил.

Рассмотрим систему параллельных сил { F₁, F₂,..., F_n }. При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки (рисунок 1.5, а).

Эта точка называется центром параллельных сил.

Теорема Вариньона, согласно которой момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

Рисунок 1.17

Например, момент силы F относительно точки O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил F_x и F_y (на которые можно разложить силу F) относительно той же точки O (рисунок 1.17). То есть

M_o(F)= -Fh = -F_x y+ F_y x, (1.8)

где F_x, F_y, x и y – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r.

Согласно теореме Вариньона, если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).

Рисунок 1.5

Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся этой теоремой.

Относительно оси x

M_x(R) = ΣM_x(F_k), _-y_CR = Σy_kFk и y_C = Σy_kFk /Σ_Fk.

Относительно оси y

M_y(R) = ΣM_y(F_k), _-x_CR = Σx_kFk и x_C = Σx_kFk /Σ_Fk.

Чтобы определить координату z_C, повернем все силы на 90° так, чтобы они стали параллельны оси y (рисунок 1.5, б). Тогда

M_z(R) = ΣM_z(F_k), _-z_CR = Σz_kFk и z_C = Σz_kFk /Σ_Fk.

Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид

r_C = Σr_kFk /Σ_Fk.

Свойства центра параллельных сил:

1. Сумма моментов всех сил _Fk относительно точки C равна нулю ΣM_C(F_k) = 0.

Если все силы повернуть на некоторый угол α, не меняя точек приложения сил, то центр новой системы параллельных сил будет той же точкой