Критерий Коши равномерной сходимости

Критерий Коши для последовательности . Чтобы последовательность функций , определенных на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовал номер , такой, что при всех больше либо равных одновременно для всех выполнялось неравенство

71. Степенные ряды. Теорема Абеля и следствие из неё. Радиус и интеграл сходимости.

Степенные ряды

Функциональный ряд вида (где x ₀ и - заданные числа) называется степенным рядом. Степенной ряд сходится в точке x = x ₀ всегда. Задача - исследовать степенной ряд на сходимость . С помощью замены t = x − x ₀ данный степенной ряд можно привести к виду - сходится при t = 0.

Теорема Абеля. Пусть степенной ряд сходится в какой-то точке . Тогда этот ряд сходится (абсолютно).

Доказательство. Ряд сходится в точке x ₁ в обычном смысле сходится числовая последовательность сходится к нулю ограничена, то есть

Рассмотрим . Обозначим

Рассмотрим : сходится, следовательно числовой ряд (для фиксированного x) сходится по признаку сравнения сходится абсолютно на множестве | x | < | x ₁ |

Следствие. Если степенной ряд расходится в точке x₂, то этот ряд расходится .

Определение. Если R - неотричательное число или обладает тем свойством, что степенной ряд сходится на множестве | x | < R и расходится на множестве | x | > R, то R называется радиусом сходимости данного степенного ряда. В этом случае интервал (− R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного рядка может не совпадать с интервалом сходимости, так как может включаться точка

Теорема. У всякго степенного ряда есть радиус сходимости.

Доказательство. Пусть A - множество всех неотрицательных чисел, в которых степенной ряд сходится.

Так как ряд сходится в точке (возможно равная ). Обозначим R = supA. Докажем, что R - радиус сходимости степенного ряда.

Фиксируем по определению точной верхней граним число так как ряд сходится в точке по теореме Абеля ряд сходится на множестве | x | < c, в частности в точке x. Так как x - любая точка, такая что ряд сходится на множестве | x | < R.

Фиксируем число в | x | > b > R такое что . То есть степенной ряд расходится в точке степенной ряд расходится в точке x (по следствию из теоремы Абеля) ряд расходится на множестве | x | > R. Следовательно R = sup A - радиус сходимости степенного ряда .

Пример 1

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

Пример 2

Определить радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение. Вычислим радиус сходимости:

Рассмотрим сходимость в конечных точках.
Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд .
Если x = 1, то ряд также расходится. Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).

Пример 3

Найти радиус и интервал сходимости ряда

Решение. Здесь и . Радиус сходимости будет равен

В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .
При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .
Таким образом, заданный ряд сходится сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).

72. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши. – смотри билет №70!