Знакочередующиеся ряды и теорема Лейбница, оценка суммы остатка ряда.

Теорема Лейбница

Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

Доказательство

Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).

2n-ая частичная сумма данного ряда равна

Так как каждая сумма в скобках неположительна и то отсюда следует ограниченность 2n-ой частичной суммы сверху числом

= где — конечное число. Доказательство сходимости завершено.

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

Доказательство

Последовательность монотонно возрастающая, так как а выражение неотрицательно при любом целом Последовательность монотонно убывает, так как а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — и — совпадающий предел при Так получено и также Отсюда и Итак, для любого выполняется что и требовалось доказать.