Строгая формулировка

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы все отрезки этого ряда с достаточно большими номерами были сколь угодно малы. Другими словами, ряд сходится тогда и только тогда, когда

Доказательство

Последовательность частных сумм ряда сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

что равносильно условию так как

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.