Исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость.

Проще всего исследовать знакопеременный числовой ряд на абсолютную сходимость. В этом случае берем знакоположительный ряд , составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, и применяем к нему подходящий достаточный признак сходимости из рассмотренных выше. Если ряд сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

Пример. Докажите, что знакопеременный числовой ряд абсолютно сходится.

Решение. Соответствующих знакоположительный ряд будет иметь вид . Для него выполняется необходимое условие сходимости ряда, так как . Возьмем сходящийся знакоположительный ряд и воспользуемся вторым признаком сравнения: . Следовательно, ряд сходящийся, поэтому, исходный ряд сходится абсолютно.

Расходимость знакопеременных рядов.

Если ряд расходится, то соответствующий знакопеременный ряд может, либо расходится, либо сходится условно.

Только признак Даламбера и радикальный признак Коши позволяют сделать вывод о расходимости знакопеременного ряда по расходимости ряда из модулей . Ряд также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если .

Пример. Проверьте расходимость знакопеременного числового ряда .

Решение. Модуль k-ого члена имеет вид . Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера: . Следовательно, ряд расходится и можно утверждать, что исходный знакопеременный числовой ряд тоже расходится.

Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Доказательство

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая:

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).