Рентные платежи и ссуды, погашаемые в рассрочку

Ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени, называется финансовой рентой или аннуитетом.

На практике используются различные виды финансовых рент:

1. Дискретные ренты:

· годовые ренты – ренты, платежи по которым производятся 1 раз в год

· р-срочные ренты – производство платежей несколько раз в году (р раз)

2. Непрерывные ренты – платежи производятся часто (непрерывно):

· начисление % 1 раз в год

· начисление % несколько раз в году (m раз)

· непрерывное начисление

3. С точки зрения стабильности размера платежей:

· постоянные (платежи – члены ренты – равны между собой)

· переменные

4. По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на:

· немедленные – платежи производятся сразу после заключения контракта

· отложенные (отсроченные) – реализация откладывается на указанное в контракте время

5. По моменту выплат членов ренты:

· обычные (постнумерандо) – платежи производятся в конце соответствующего периода

· пренумерандо – платежи осуществляются в начале периода

Обобщающие показатели – наращенная сумма и современная (приведенная) величина. Наращенная сумма – сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них % на конец срока (на дату последней выплаты). Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными %.

Наращенная сумма обычной ренты

1.1 Наращенная сумма обычной ренты при платеже и начислении % 1 раз в год

Наращенная сумма к концу срока ренты составит:

S = R * ((1+i) ⁿ – 1) = R* (1+i) ⁿ – 1

(1+i) – 1 i

где R – величина ежегодного взноса; i - % ставка; n – срок ренты

Величина (1+i) ⁿ – 1 - коэффициент наращения ренты, который показывает, во сколько раз

i наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.

1.2 Наращенная сумма обычной ренты при платеже 1 раз в год и начислении % несколько (m раз в году)

Наращенная сумма выглядит так:

S = R * (1 + j / m) ^m*n – 1

(1+ j / m) ^m – 1

где j – номинальная (годовая) ставка сложных %, n – срок ренты в годах.

1.3 Наращенная сумма обычной ренты при платежах несколько раз в году равными суммами (р – срочная рента), а начисление % производится 1 раз в конце года (m = 1)

Наращенная сумма:

S = R* _ (1+i) ⁿ – 1___

p* ((1+i) ^{1 / p} – 1)

где p – число поступлений рентных платежей в течение года; i - % ставка; n – срок ренты в годах; R – годовой платеж

1.4 Наращенная сумма обычной ренты, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году (p –срочная рента), начисление % производится m раз в году, число периодов начисления % в течение года = числу рентных платежей в течение года, т. е. m = p

Наращенная сумма:

S = R * (1+j / m) ^{m* n} – 1

j

где j – номинальная ставка %; n – срок ренты в годах; m – число периодов начисления %; R – сумма рентных платежей за год.

1.5 Наращенная сумма обычной ренты, когда рентные платежи вносятся несколько раз в году, начисление % также несколько раз в году; число рентных платежей в течение года не равно числу периодов начисления %, т.е. p ≠ m (общая рента)

S = R * (1+ j / m) ^{m * n} – 1_

p* ((1+j/m) ^{m / p} – 1)

где p-число рентных платежей в течение года; m – число периодов начисления % в теч. года; j-номинальная ставка %; n – срок ренты.

Современная величина обычной ренты

Современная величина потока платежей – сумма всех его членов, уменьшенная (дисконтированная) на величину % ставки на определенный момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Современная величина показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые бы начислялись установленные % в течение срока ренты, можно было бы обеспечить получение наращенной суммы.

Данный показатель оказывает влияние на определение эффективности инвестиций, на расчет доходности различных финансовых сделок и т.д. Оценка современной величины производится на момент начала реализации ренты.

2.1 Современная величина годовой ренты с начислением % 1 раз в год:

a = 1 - (1+i) ^{(- n)}

i

Годовая рента: А = R * а

2.2 Годовая рента с начислением % m раз в году:

A = R * 1-(1+j / m) ^(-m*n)

(1+ j / m) ^m) – 1

2.3 Современная величина р-срочной ренты при начислении % 1 раз в году (m=1):

а = ___ 1-(1+i) ^(-n)

p * ((1+i) ^{1 / p}) - 1

Годовая рента тогда равна: A = R * a

2.4 Современная величина с начислением % m раз в году, если число рентных платежей в течение года не равно числу периодов начисления % (p ≠ m):

а = ___ 1 – (1+ j / m) ^{(- m*n)} ___

p * ((1 + j / m) ^{m / p} – 1)

Годовая рента равна: A = R * a

Рента пренумерандо

Рента, когда платежи производятся в начале каждого периода. Отличие от выше перечисленных рент постнумерандо сводится к числу периодов начисления %.

Наращенная сумма ренты пренумерандо с начислением % 1 раз в год:

S' = S * (1 + i), где S - наращенная сумма постнумерандо, т.е. сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты пренумерандо в (1+ i) раз.

Наращенная сумма ренты пренумерандо с начислением % m раз и непрерывно:

S' = S * (1 + j / m) ^m

Наращенная сумма р-срочной ренты:

S' = S * (1 + i) ^{1 / p}

S' = S * (1 + j / m) ^{m/ p}

Современная величина рент пренумерандо:

А' = А * (1 + i), А' = А * (1 + j / m) ^m и т.д.

Смотри вопрос 5.