Анализ и решение задачи 1

1.Схема замещения каждого двигателя может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного элементов, т.к. в двигателе происходит как необратимое преобразование электрической энергии в механическую и тепловую энергию, так и колебательный обмен энергией между магнитным полем двигателя и сетью. Схема замещения к задаче представлена на рис. 99.

Рисунок 99 к задаче 1

2.Токи двигателей рассчитываются по паспортным данным:

А; А.

Сдвиги токов по фазе по отношению к напряжению: φ₁ =53,1°, φ ₂=45,5°.

3. Мощности ветвей приведены в исходных данных, поэтому расчет схемы удобно вести через треугольники мощностей.

Реактивные мощности двигателей:

Q ₁ = U I ₁ sin φ₁ = 220 · 2,27 · 0,8 = 399 ВАр;

Q ₂ = U I ₂ sin φ₂ = 220 · 2,6 · 0,713 = 407 ВАр.

Активная и полная мощности всей цепи:

P = P ₁ + P ₂ = 300 + 400 = 700 Вт;

Q = Q ₁ + Q ₂ = 399 + 407 = 806 ВАр;

В

Ток в цепи источника: I = S / U = 1068 / 220 = 4,85 А..

Коэффициент мощности схемы:

cos φ = P / S = 700 / 1068 = 0,655.

4. Рассчитаем емкость конденсатора, необходимую для повышения коэффициента мощности схемы до cos φ'=0,9.

Включение конденсатора параллельно нагрузке не изменяет ее активную мощность, а уменьшает реактивную и полную мощности, потребляемые всей схемой от источника. Поэтому по активной мощности цепи и заданному значению cos φ' определим полную мощность цепи:

S ' = P / cos φ' = 700 / 0,9 = 777,8 ВA.

Реактивная мощность цепи:

ВАр.

Реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ее участков. В данном случае Q '= Q - Q_C, поэтому мощность конденсатора:

Q_C = Q - Q ' = 806 - 339= 467 ВАр.

Многоугольник мощностей показан на рис. 100.

Рисунок 100 к задаче 1

Ток в цепи конденсатора и его сопротивление:

I_C = Q_C / U = 467 / 220 = 2,12 А; X_C = U / I_C = 220 / 2,12 = 103 Ом.

Емкость конденсатора:

C = 1 / (2π f X_C) = 1 / (2π · 50 · 103) = 30,7·10^-6 Ф = 30,7 мкФ.

Результирующий ток источника:

I ' = S ' / U = 777,8 / 220 = 3,535 A.

На рис. 101 приведены векторные диаграммы напряжения и токов схемы без конденсатора (а) и после подключения параллельно нагрузке конденсатора (б).

Рисунок 101 к задаче 1

5.Если в исходных данных приведены сопротивления ветвей или их токи и коэффициенты мощности, то расчет удобно вести через треугольники токов (их активные и реактивные составляющие).

Активные составляющие токов ветвей:

I _1а = I ₁ cos φ₁ = 2,27 · 0,6 = 1,362 А;

I _2а = I ₂ cos φ₂ = 2,6 · 0,7 = 1,818 А;

I _а = I _1а + I _2а = 1,362 · 1,818 = 3,18 A.

Реактивные составляющие токов ветвей:

I _1р = I ₁ sinn φ₁ = 2,27 · 0,8 = 1,818 А;

I _2р = I ₂ sinn φ₂ = 2,6 · 0,713 = 1,852 А;

I _р = I _1р + I _2р = 1,818 · 1,852 = 3,67 A.

Полный ток источника:

A.

Коэффициент мощности эквивалентной нагрузки:

cos φ = I _а / I = 3,18 / 4,854 = 0,655.

Реактивная составляющая тока источника после подключения конденсатора:

I '_р = I _а t g φ' = 3,18 · 0,484 = 1,54 A.

Ток конденсатора:

I_C = I _р - I '_р = 3,67 - 1,54 = 2,13 A.

Далее определяются X_C и С, как было рассмотрено выше.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Как по результатам расчета определить параметры последовательной схемы замещения двигателей и всей схемы в целом?

Полные сопротивления двигателей определяются по закону Ома:

Z ₁ = U / I ₁; Z ₂ = U / I ₂.

Активные и реактивные составляющие сопротивлений рассчитываются через треугольники сопротивлений:

R₁ = Z₁ cos φ₁; R₂ = Z₂ cos φ₂; X₁ = Z₁ sinn φ₁; X₂ = Z₂ sinn φ₂.

Сопротивления можно подсчитать также и через треугольники мощностей. Например, для схемы в целом:

R = P / I ² = 700 / 4,856² = 29,68 Ом; X = Q / I ² = 339 / 4,856² = 14,37 Ом.

2. Какова схема замещения цепи при представлении токов ветвей в виде суммы активных и реактивных составляющих.

Разложение тока на составляющие соответствует представлению реального элемента цепи в виде соединенных параллельно идеальных активного и реактивного сопротивлений (рис. 102).

Параметры схемы подсчитываются по закону Ом а или через мощности:

R ' = U / I _а = U ² / P; X ' = U / I _р = U ² / Q; Z = U / I = U ² / S.

Рисунок 102 Рис. 6.14.

3. Как изменятся токи в схеме, если параллельно двигателю подключить осветительную (чисто активную) нагрузку?

За счет увеличения активной составляющей (освещение) ток источника возрастет, токи в ветвях схемы не изменятся.

4. Как рассчитать схему графоаналитическим методом?

Для определения тока источника рассчитываются, как это было приведено выше, токи в ветвях I ₁ и I ₂ и их сдвиги по фазе φ₁ и φ₂ по отношению к напряжению. Далее строится в масштабе векторная диаграмма токов и по диаграмме определяется величина тока I и его сдвиг по фазе по отношению к напряжению φ (рис. 101).

5. Как рассчитать токи в схеме комплексным методом?

Для расчета связываем векторную диаграмму с комплексной плоскостью; для упрощения выкладок один из векторов, например, напряжение, направим по действительной оси, т.е. U =220 B.

Токи в ветвях в комплексной форме:

Í₁ = 2,27 e ^{- j 53,1°} = 2,27 (cos 53,1° - j sin 53,1°) = (1,36 - j 1,81) А;

Í₂ = 2,6 e ^{- j 45,5°} = 2,6 (cos 45,5° - j sin 45,5°) = (1,82 - j 1,84)

По первому закону Кирхгофа ток источника:

Í = Í₁ + Í₂ = 1,36 - j 1,81 + 1,82 - j 1,84 = 3,18 - j 3,66 = 4,85 e ^{- j 49°}

Мощность цепи в комплексной форме:

S = Ú Î = 220 · 4,85 e^{j 49°} =1067 e^{j 49°} = (700 + j 806) ВА;

S =1067 ВА; P =700 Вт; Q =806 ВАр.

Батарея конденсаторов рассчитывается, как это было рассмотрено выше.