Тема 8.Статистическая гипотеза.

1.Статистическая гипотеза. Статистический критерий.

2.Критическая область.

3.Критерий согласия Пирсона.

1.Опр.Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений. Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута,то имеет место противоречащая гипотеза.

Опр. Нулевой (основной) Называют выдвинутую гипотезу H₀. Конкурирующей (альтернативной) Называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой.

Опр. Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Опр. Наблюдаемым значением к_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

2.Опр. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых H₀ отвергают. Областью принятия гипотезы, называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистической гипотезы: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Опр. Критическими точками называют к_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Есть следующие виды критических областей:

1.Правосторонняя к>к_кр, к_кр >0.

2.Левосторонняя к<к_кр, к_кр <0.

3.Односторонняя – левосторонняя или правосторонняя.

4. Двусторонняя к<к_1, к>к_2, к₂ > к₁.

для отыскания правосторонней критической области, достаточно найти критическую точку, а ее нахождение задается достаточно малой вероятностью – уровнем значимости a, затем ищут к_кр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, большее к_кр, была равна принятому уровню значимости Р(К> к_кр)= a.

Для левосторонней критической области поступают аналогично, исходя из требований Р(К<к_кр)= a.

Р(К> к_кр)= a/2- это соотношение служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.

Если закон распределения генеральной совокупности не известен, то то есть основания предположить, что он имеет определенный вид (А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.

3.Опр. Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

С целью проверки сравнивают эмпирические и теоретические частоты. В качестве проверки нулевой гипотезы применяют СВ c²=S(n_i-n_i ^¢)² /n_i.

Число степеней свободы находят по равенству: k=s-1-r,где

s – число групп (частичных интервалов выборки),

r – число параметров предполагаемого распределения(если распределение нормальное r=2, если Пуассона r=1).

Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a:

Р(c ² >c²_кр (a;k))=a;

Т.о. область принятия нулевой гипотезы определяется равенством;

c²_кр (a;k)< c ².

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений через c ²_набл, сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена по закону А, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия c²_набл=S(n_i-n_i ^¢)² /n^¢ _i и по таблице критических точек c ², по заданному уровню значимости a и числу степеней свободы k найти критическую точку c²_кр (a;k).

Если c²_кр (a;k)< c ² нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если c²_кр (a;k)> c ² нулевую гипотезу отвергают.

Замечание: объем выборки должен быть достаточно велик (не менее 50), каждая группа должна содержать не менее 5-8 вариант, малочисленные группы следует объединить в одну, суммируя частоты.