Раздел 3. Повторение испытаний.

Тема 3.Теоремы о повторении опытов.

1.Формула полной вероятности.

2.Теорема гипотез(Формула Байеса)

3.Формула Бернулли.

4.Локальная теорема Лапласа.

5.Интегральная теорема Лапласа.

Раздел 4. Случайные величины и их числовые характеристики.

Тема 4. Случайные величины.

1.Понятие С.В. Дискретные и непрерывные С.В.

2.Закон распределения вероятностей Д.С.В. Полигон.

3.Операции над Д.С.В.

Тема 5.Распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ.

1.Биномиальное распределение.

2.Распределение Пуассона.

3.Геометрическое распределение.

4.Математическое ожидание Д.С.В.

5.Свойства математического ожидания Д.С.В.

6.Дисперсия Д.С.В. и ее свойства.

Тема 6.НСВ и их числовые характеристики.

1.Функция распределения и ее свойства.

2.Плотность распределения и ее свойства.

3.Математическое ожидание Н.С.В.

4.Дисперсия Н.С.В.

5.Показательное распределение.

6.Нормальное распределение.

Раздел 5. Математическая статистика.

Тема 7. Основные понятия математической статистики.

1.Выборочный метод.

2.Генеральная и выборочная совокупность, повторная и бесповторная выборки.

3.Статистическое распределение выборки.

4.Эмпирическая функция распределения.

Тема 8.Статистическая гипотеза.

1.Статистическая гипотеза. Статистический критерий.

2.Критическая область.

3.Критерий согласия Пирсона.

4.Выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Тема 9. Многомерный статистический анализ.

1.Многомерный статистический анализ.

2.Кластерный анализ, многомерное шкалирование.

3.Дискриминантный анализ.

Раздел 1.Основные понятия теории вероятностей.

Тема 1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.

1.Предмет теории вероятностей. Испытания (опыт, события).

2.Элементарные события, полная группа событий, пространство элементарных событий, несовместные события.

3.Вероятность, классическое определение вероятности.

4.Статистическая вероятность (частота).

5.Геометрические вероятности.

6.Основные формулы комбинаторики.

7.Алгебра событий.

1.Теория вероятностей занимается изучением закономерностей массовых однородных случайных явлений. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Основными исходными понятиями теории вероятностей являются понятия опыта (эксперимента или наблюдения), случайного события, пространства элементарных событий и д.р.

Опр1. Под опытом (экспериментом, наблюдением, испытанием) понимается некоторая воспроизводимая совокупность условий S, которую можно повторять любое количество раз. Многократно воспроизводимую совокупность условий называют комплексом условий, или будем говорить испытание, опыт, наблюдение, эксперимент. Во всяком опыте имеет место наблюдаемый результат. При этом если результат опыта при его неоднократном повторении изменяется, то говорят «опыт со случайным исходом».

Опр2. Событием называется результат опыта (эксперимента или наблюдения).

Опр3. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида:

А) событие, которое в результате опыта обязательно произойдет, называется достоверным;

Б) событие, которое в результате опыта никогда не произойдет, называется невозможным;

В) случайным называют событие, которое в результате опыта может либо произойти, либо не произойти.

2.Рассмотрим совокупность всех взаимно исключающих друг друга событий (исходов), одно из которых в результате опыта обязательно произойдет.

Опр1.Всякий возможный исход одного опыта называется элементарным событием и обозначается ώ. Любой элементарный исход ώ является событием. Элементарные события исключают друг друга и в результате опыта не могут появиться одновременно.

Опр2. Сложными называются события, происходящие в результате совпадения или совместного появления нескольких элементарных событий. Всякое событие может быть разложено на совокупность элементарных событий.

Опр3.Совокупность (множество) всех элементарных событий, связанных с данным экспериментом, Называется пространством элементарных событий и обозначается Ώ.

Так как каждому событию А, наблюдаемому в рассматриваемом опыте, соответствует некоторое подмножество множества элементарных исходов Ώ, то любое подмножество А, данного множества Ώ,интерпретируется как событие А.

Опр4. Те элементарные события в которых интересующее нас событие А наступает, назовем благоприятствующими этому событию.

Опр5.Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. То есть, появление хотя бы одного из событий полной группы, есть достоверное событие.

Опр6. Два события А и В, в одном испытании называются несовместными, если в результате опыта их совместное появление невозможно.

Следс. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Опр7. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

3.Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события (количественная оценка возможности).

Опр1. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события А определяется формулой:

Р(А)=m/n,

Где m – число благоприятствующих событию А элементарных исходов, n - число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Свойства:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

Для любого элементарного исхода благоприятствующего событию А m=n => Р(А)=m/n=n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

Для любого элементарного исхода благоприятствующего событию А m=0 => Р(А)=m/n=0/n=0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

0 £ m £ n => 0 £m/n£1=> 0 £ Р(А) £1.

4.Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. Это указывает на ограниченность классического определения вероятности. Очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий, еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине используют другие определения, в частности статистическое определение.

Опр1. В качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число близкое к ней.

Опр2. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых появилось событие, к общему числу фактически произведенных испытаний:

W(А)=m/n,

где m- число появлений события, n- общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же относительной частоты требует, чтобы испытания были произведены фактически.

Свойства: свойства вероятности, вытекающие из классического определения вероятности, сохраняются при статистическом определении вероятности.

1. Если событие достоверно, то m=n => W(А)=m/n=n/n=1.

2. Ели событие невозможно, то m=0 => W(А)=m/n=0/n=0.

3. Для любого события 0 £ m £n => 0 £ m/n£1 => 0£ = W(А) £1.

5.Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятность попадания точки в область.

Опр1. Пусть отрезок l составляет часть отреза L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

Р=длинаl/длинаL.

Опр2. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу, брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством:

Р=площадьg/площадьG.

6. Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Опр1. перестановками называют комбинации, из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_n=n!,

где n!=1*2*3*…* n, 0!=1.

Опр2.Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A_n^m=n*(n-1)(n-2)….(n-m+1)=n!/(n-m)!

Опр3. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

С_n^m=n!/m!(n-m)!

7.Алгебра событий- раздел теории вероятностей, изучающий свойства событий, на которых заданы операции È,Ç,\.(ÊÌÍ£)

Поскольку событие отождествляют со множеством, то над наблюдаемыми нами событиями можно выполнять все операции, выполняемые множествами.

Опр1. Событие А влечет за собой событие В, если при наличии события А обязательно произойдет событие В, т.е. при осуществлении комплекса условий S, при которых происходит событие А, происходит и событие В. ВÌА. Рис.1

В

А

Опр2.Если событие А влечет за собой событие В, а событие В влечет за собой событие А, т.е. ВÌА и АÌВ, то события А и В называются эквивалентными (равными). А=В. Т.е. события А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементарных событий w. Рис.2

В

Т.о. два равных события в одном эксперименте либо наступают оба, либо оба не наступают.

Опр3. Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие С (С=АÈВ=А+В=А или В), состоящее в осуществлении хотя бы одного из этих событий, т.е. или события А, или события В, или события А и В вместе. Событие АÈВ состоит из элементарных событий, входящих или в событие А, или в событие В, или и в то и другое. Точки, общие для события А и В считаются только один раз.

Рис3.

Опр4. Пересечением (произведением или совмещением) двух событий А и В называется событие С (С=АВ=АÇВ=АиВ), состоящее в совместном появлении этих событий, т.е. и события А и события В одновременно. Это событие состоит из тех элементарных событий, которые входят и в событие А и событие В.

Рис4.

Опр5. Разностью событий А и В называется событие С (С=А\В=А-В=А без В), состоящее из тех элементарных событий в которые входят в событие А и не входят в событие В. Разность событий А и В означает, что в результате

опыта произошло событие А, и не произошло событие В. Рис5.

Опр6.Событие А (не А) заключающееся в том, что событие А не произойдет, называется противоположным событию А.

Рис 6.