Элементы нечеткой логики

Определения основных понятий четкой логики приведены в прил. 3. В зависимости от системы аксиом (от способов введения операций конъюнк­ции и дизъюнкции) можно построить бесконечное число нечетких логик. Важно от­метить различие между логическими операциями и опера­циями над множе­ствами. В операции над множествами полностью взаимо­действуют два множества со всеми элементами и ее результат - множество. В логических опе­рациях участвуют элементы и их результат - элемент с рассмат­риваемыми свойствами. Пусть А, В - высказывания, , - значения истинности А, В, .

Нечеткая логика с максиминными операциями [1], [8]. Включает операции:

· отрицания: ()= (1- (А));

· триангулярной нормы (t - нормы) - нечеткого расширения логической опера­ции конъюнкции ("и"):

; (3.1)

· s-нормы (t-конормы) - нечеткого расширения логической операции дизъ­юнкции ("или"):

; (3.2)

· импликации ("если…, то"):

; (3.3)

· эквивалентности:

Операции t - нормы и s-нормы - идемпотентные, коммутативные, ас­со­циативные, дистрибутивные. Для них выполняются свойство абсорбции, законы двойного отрицания и де Моргана, не выполняется свойство комплементар­ности (закон исключения третьего), т. е. ) ) . Таким образом, не­чет­кая логика с максиминными операциями - структура типа ди­стрибутив­ной решетки с псевдодополнениями.

Нечеткая логика с ограниченными операциями(Лукасевича) [1], [8]. Включает операции:

· конъюнкции (t - нормы): ;

· дизъюнкции (s-нормы): ;

· импликации:

. (3.4)

Операции t - нормы и s-нормы - коммутативные, ассоциативные, неидем­потентные, недистрибутивные. Для них выполняются свойство комплементар­ности, законы двойного отрицания и де Моргана. Таким образом, нечеткая логика с ог­раниченными операциями не представляет собой решетку.

Вероятностная нечеткая логика [1], [8]. Включает операции:

· дизъюнкции (s-нормы): ;

· конъюнкции (t - нормы):

(3.5)

Операции t - нормы и s-нормы - коммутативные, ассоциативные. Для них не вы­полняются свойства идемпотентности, дистрибутивности и комплемен­тарно­сти, выполняются законы двойного отрицания и де Моргана. Таким образом, вероятностная нечеткая логика не представляет собой решетку.

Нечеткие предикаты. Нечеткие логические формулы, которые опреде­лены на универсальном множестве U и принимают значения из замкнутого интервала [0, 1], называ­ют нечеткими предика­тами. Функция принадлежности нечеткого множе­ства А - нечеткий предикат, фактически задающий множество А [6], [10].

Пример 3.1: {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Ì U. Нечеткий предикат "быть небольшим

чис­лом": А ={(1,1), (2, 0.9), (3, 0.7), (4, 0.3), (5, 0.1), (6, 0)}.

Замечание. Таким образом [6], если - нечеткое подмножество универсаль­ного множества U, то следующие два утверждения эквива­лентны:

1) степень принадлежности элемента u нечеткому множеству А есть ;

2) значение истинности нечеткого предиката А есть