Показатели размера и интенсивности вариации

Для характеристики размера вариации в статистике применяются абсолютные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

Размах вариации (размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальными значениями признака в совокупности:

Для группировок с открытыми первым и последним интервалами, когда неизвестны реальные минимальное и максимальное значения признака совокупности, расчет размаха вариации некорректен.

Размах вариации зависит от величины только крайних значений признаков. Более точно характеризуют вариацию признака показатели, основанные на учете колеблемости всех значений признака, — среднее линейное отклонение (d) и среднее квадратическое отклонение (σ).

Для сгруппированных данных они рассчитываются по формулам:

,

где — значение признака в i-й группе (для интервальных вариационных рядов — середина i-го интервала);

— средняя величина признака в совокупности;

— частота (частость) i-го интервала.

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией():

Рассчитать дисперсию можно также по преобразованной формуле:

где — средний квадрат значений признака в совокупности:

;

— квадрат среднего значения признака в совокупности.

При расчете дисперсии по этой формуле исключается дополнительная процедура расчета отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины, за счет этого уменьшается ошибка, связанная с округлением значений промежуточных вычислений.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными, то есть имеют ту же единицу измерения, что и изучаемый признак. Дисперсия единицы измерения не имеет.

Соотношение зависит от наличия в совокупности резких отклонений и может служить индикатором «засоренности» совокупности нетипичными, выделяющимися из основной массы единицами. Для нормального распределения это соотношение равно 1,25.

Для оценки интенсивности вариации, а также для сравнения ее величины в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации, которые рассчитываются как отношение абсолютных показателей вариации к средней величине признака: относительный размах вариации (коэффициент осцилляции), относительное линейное отклонение и др.

Наиболее часто на практике применяют коэффициент вариации ( ), который представляет собой относительное квадратическое отклонение:

По величине коэффициента вариации можно судить об интенсивности вариации признака, а следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности. Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем больше неоднородность совокупности. Существует шкала определения степени однородности совокупности в зависимости от значений коэффициента вариации.

Отметим, что приведенная выше шкала оценки однородности совокупности весьма условна. Вопрос о степени интенсивности вариации должен решаться для каждого изучаемого признака индивидуально исходя из сравнения наблюдаемой вариации с некоторой ее обычной интенсивностью, принимаемой за норму.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется вариацией?

2. Какие этапы предполагает статистический анализ вариаций?

3. Какие основные элементы можно выделить в составе любого вариационного ряда?

4. Чем отличаются частости от частот?

5. Что такое гистограмма?

6. Как строится полигон распределения для графического изображения интервального вариационного ряда?

1. Как соотносятся между собой среднее значение признака, медиана и мода:

а) в симметричном распределении;

б) при левосторонней асимметрии;

в) при правосторонней асимметрии?