Переходный процесс в цепи, содержащей конденсатор

Пусть дана схема (рисунок 2), в которой в некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается, в результате чего напряжение источника тока подаётся на остальную часть схемы. Для простоты будем считать, что внутреннее сопротивление источника тока мало. Это допущение не повлияет на искомый результат.

Школьники, понимающие, что конденсатор является цепью фактически разомкнутой для постоянного тока, с некоторым недоумением воспринимают информацию, что сразу после замыкания цепи в ней возникает, правда, очень быстро заканчивающийся, процесс протекания тока. В результате конденсатор переходит от незаряженного состояния в заряженное.

Длительность этого процесса составляет десятые, сотые, а иногда и миллионные доли секунды; сравнительно редко время переходных процессов может составлять секунды и десятки секунд.
Что же происходит в результате замыкания ключа К? Конденсатор C вначале не заряжен, а потому потенциалы его обкладок одинаковы. Примем потенциал нижнего по рисунку вывода источника тока равным нулю, тогда верхний вывод имеет потенциал Е. Замыкание ключа приводит к обнулению потенциала как нижней, так и верхней пластины конденсатора. Таким образом, между верхним полюсом источника тока и верхней обкладкой конденсатора возникает разность потенциалов, что приведёт к перемещению заряженных частиц (электронов), то есть к возникновению электрического тока. Значение силы тока по закону Ома пропорционально разности потенциалов. Следовательно, сразу после замыкания ключа К на резисторе R напряжение будет равно E. При этом сила тока в нем равна Процесс протекания тока приведёт к росту заряда на обкладках конденсатора, а, следовательно, и росту потенциалов на его обкладках. В результате, верхняя обкладка заряжается положительным зарядом, а нижняя — отрицательным. Так как на левом выводе резистора потенциал не изменяется, а на правом растёт, разность потенциалов (напряжение) на резисторе снижается, что приводит к уменьшению силы зарядного тока, а, следовательно, и к уменьшению скорости заряда конденсатора.

Для замкнутой цепи (рисунок 2) можно записать уравнение E = U_R+ U_C, так как резистор и конденсатор включены в ней последовательно. Здесь U_R = iR — напряжение на резисторе, а — напряжение на конденсаторе, а — сила зарядного тока. Тогда Так как , то

(1)

Заряд на конденсаторе изменяется постепенно, хотя и очень быстро. Это прямо вытекает из уравнения (1). В самом деле, мгновенный (скачком) рост заряда на конденсаторе делал бы дробь очень большой, что противоречило бы этому уравнению, так как все остальные члены имеют конечное (не бесконечно большое) значение. Получив из (1) выражение

заметим, что по мере увеличения заряда q на конденсаторе уменьшается скорость процесса заряда этого конденсатора. Для малых интервалов времени то есть при , значение производная заряда как функции от времени. Таким образом, в уравнение неизвестная величина (заряд) входит еще и со своей производной. Решить его — означает найти вид функции q(t) зависимости заряда на конденсаторе от времени. Решение этого, так называемого дифференциального, уравнения выходит за рамки школьной программы.

Тем не менее, попробуем всё-таки определить характер зависимости заряда (напряжения) на конденсаторе другим способом. Для этого представим исходное уравнение в виде

Время заряда конденсатора разобьём на малые одинаковые интервалы времени t и посмотрим, как будет меняться значение заряда и напряжения по истечении первого интервала t₁ от начала заряда, затем второго — t₂ и т.д. При этом как уже было сказано

Таким образом, есть возможность последовательно, шаг за шагом, рассчитывать напряжения на конденсаторе через одинаковые промежутки времени t, получая последовательность чисел.

Выражения типа (3) называют рекуррентным, так как для вычисления последующего члена последовательности надо знать её предыдущий член. При этом, разумеется, значения величин E, R и C должны быть известными. Обратим внимание, что в выражениях (2) и (3) дробь безразмерна, то есть RC имеет размерность времени (докажите это.)

Выведем формулу общего члена последовательности. В соответствии с выражением (3) проследим, как изменяется напряжение на конденсаторе, учитывая, что вначале U0=0 В (конденсатор не заряжен).

В последнем выражении видно, что в скобках стоит сумма конечного количества членов геометрической прогрессии со знаменателем . Так как конденсатор заряжается только до напряжения источника тока, то сумма её не может быть бесконечно большой, и эта прогрессия является убывающей, а потому. По формуле суммы геометрической прогрессии имеем

Отсюда

И, наконец,

Какими взять интервалы времени t и каково их количество? Анализируя выражение (4), приходим к выводу, что из бесконечного увеличения числа интервалов следует асимптотическое приближение В самом деле, сумма членов той же, но уже не ограниченной количеством n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Этот чисто математический вывод означает, что полный заряд конденсатора до напряжения источника тока E происходит за бесконечно большой интервал времени. В реальности же вследствие ограниченной точности (чувствительности) измерительных приборов ждать «бесконечно» долго не приходится. Конденсатор считается заряженным, если напряжение на нём достигло такого значения, при котором визуально оно уже не изменяется. Поэтому будем считать, что конденсатор «практически» заряжен за n = N шагов, если напряжение на нём будет составлять, например, доли от напряжения источника E, то есть . Тогда из (4)

Откуда

Если T — время, за которое конденсатор будет «практически» заряжен, то понятно, что

Тогда

Отсюда

(5)

Величина RC, имеющая размерность времени, характеризует электрическую цепь. Можно сказать, что от величины RC зависит время заряда конденсатора. Соотношение показывает, во сколько раз отличается время «полного» заряда конденсатора от RC. Посмотрим, как это соотношение зависит от количества N интервалов времени при различных значениях . Лучше всего проанализировать выражение (5) с помощью табличного процессора MS Excel. Расчёты по формуле (5) были проведены для трёх значений. На графике (рисунок 3) показаны результаты этих расчётов.

Из графиков видно, что при N > 100 соотношение «стабилизируется», то есть мало зависит от N. Это означает, что конденсатор можно считать заряженным, например, с точностью = 0,95, если время T будет в 3 раза больше величины RC при условии, что число интервалов N > 100.

Теперь ясно, что для расчётов по формуле (4) значений напряжений U_n берётся , где в соответствии с рисунком 3 при значение, при = 0,95 — T = 3 ^. RC, при = 0,99 — T = 4,6 ^. RC при = 0,9 — T = 2,3 ^. RC, а N выбирается во всех случаях большим 100.

Если нас интересует практически полный заряд конденсатора ( = 0,99), то это произойдёт за T = 4,6 ^. RC. Тогда Опять же воспользуемся табличным процессором MS Excel. График показан на рисунке 4. Расчёты были произведены для E = 5В, RC = 0,001с. И при N = 100 имеем t = 0,000046c.

Date: 2016-05-25; view: 941; Нарушение авторских прав