Дифференцирование неявно заданной функции

Пусть функция задана уравнением , связывающим значение функции и аргументов, и неразрешённым относительно функции . В этом случае говорят, что функция задана неявно. Не всякое уравнение определяет некоторую функцию.

Например, уравнение не имеет действительных решений и не задает никакой функции.

Теорема“ О существовании неявно заданной функции”. Если в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные и , кроме того частная производная в точке не обращается в 0 (), тогда уравнение в некоторой окрестности точки определяет , как неявно заданную однозначную функцию своих аргументов , и частные производные функции в точке вычисляются по формулам:

, , …, .

Частные случаи:

1) Неявно заданная функция одного аргумента : .

2) Неявно заданная функция двух аргументов : .

Например.

:

, .