Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Исследование функций с помощью производных
|
|
Монотонность функции
Теорема “Признак монотонности функции”. Если функция 
дифференцируема на промежутке 
и её производная на этом промежутке положительна (отрицательна), то функция на промежутке возрастает (убывает).
Например.
Найти промежутки монотонности функции 
.
Найдём производную 
. Очевидно, что при 
, и функция возрастающая, а при 
, и функция убывающая.
Экстремумы функции
Точка 
называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки 
этой окрестности выполняется неравенство: 
(
). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.
Теорема“Необходимый признак экстремума функции одного аргумента”. Если является точкой экстремума, то 
либо 
не существует.
Точки, в которых выполняется необходимое условие, называют критическими.
Например.
Для функции 
критическими точками являются 
и 
, так как 
при и .
Теорема“Первый достаточный признак экстремума функции одного аргумента”. Если непрерывна в критической точке , дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением быть может самой точки , и при переходе через точку производная функции меняет свой знак с + на -, то является точкой максимума, если производная меняет знак с - на +, то - точка минимума, если производная не меняет знака при переходе через , то не является точкой экстремума.
Например.
Для функции : 
и 
производная меняет свой знак с + на – в точке и, следовательно, 
является точкой максимума, а в точке производная меняет знак с - на + и 
- точка минимума этой функции.
Рис.1.5.
Теорема «Второй достаточный признак наличия экстремума».
Если в критической точке функции обращаются в ноль не только её первая производная , но и все последующие производные до (n-1) –го порядка включительно 
, а производная n -го порядка существует и отлична от нуля 
, то точка будет точкой экстремума, если число n чётное и не будет ею, если n нечетное.
Характер экстремума при чётном n определяется по знаку производной n -го порядка 
: если 
, то -точка минимума, а если 
, то точка максимума.
Например.
Для функции 
в критической точке 
, обращаются в 0 
, 
, 
и 
, а 
, поскольку номер отличной от 0 производной нечётный -5, следовательно не является точкой экстремума.
Следствие. Если 
, а 
, то при 
точка есть точка максимума, а при 
точка минимума.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a,b] надо:
1. Найти критические точки функции.
2. Выбрать из критических точек те, которые принадлежат отрезку [a,b].
3. Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.
4. Выбрать набольшее и наименьшее значение из полученных значений функции.
Date: 2016-05-24; view: 484; Нарушение авторских прав