Методические рекомендации. Функция root используется для определения значения корня уравнения f(x) = 0 в одном из двух вариантов:

Функция root используется для определения значения корня уравнения f(x) = 0 в одном из двух вариантов:

· root(f(x),x);

· root(f(x),x,a,b).

где

f(x) – функция, определяющая уравнение;

x – переменная, относительно которой решается уравнение;

a,b – границы интервала, содержащего корень уравнения.

Для первого варианта использования функции root необходимо переменной х предварительно присвоить значение начального приближения к корню. Для второго варианта нужно предварительно установить границы а и b интервала, внутри которого имеется корень уравнения. Поиск корня этой функцией производится методом секущих. Значения функции на концах интервала f(a) и f(b) при этом должны иметь разные знаки.

Для определения корней этим методом необходимо:

· выполнить локализацию корней, например, графически, чтобы определить начальные приближенные значения корней или интервалы на которых находятся эти корни;

· выбрать точность решения;

· использовать функцию root в одном из двух вариантов для нахождения точного значения каждого корня.

Отделение корней и выбор точности решения легко выполнить при помощи построенного графика функции, подбирая нужный диапазон изменения переменной по оси абсцисс, а также используя средства масштабирования и трассировки.

Точность решения задается системной константой TOL, которая по умолчанию равна 0,001. Итерационный процесс решения прекращается в тот момент, когда значение функции становится меньше этой величины (׀f(x)׀< TOL). Исходя из скорости изменения функции вблизи корня, при необходимости можно выбрать другое значение точности, присвоив его константе TOL. Следует помнить, что необоснованное повышение точности решения при уменьшении значения TOL приводит к увеличению времени расчета, однако слишком низкая точность может привести к весьма существенным ошибкам при решении.

Все корни полинома (в том числе и комплексные) можно опреде­лить при помощи функции polyroots (v), где v – вектор коэффициентов полинома.

Коэффициенты полинома записываются в вектор v, начиная со свободного члена, затем при первой степени аргумента, второй и т.д. Вектор коэффициентов можно получить также и при помощи символь­ных вычислений (лабораторная работа № 2).

Для функции polyroots можно выбрать один из двух численных методов – метод полиномов Лаггера (он установлен по умолчанию) или парной матрицы. Метод выбирается из контекстного меню, вызываемого по щелчку правой кнопки мыши на слове polyroots.

Для решения систем уравнений используется вычислительный блок, который состоит из 3 частей:

· Given - ключевое слово;

· система уравнений, записанная логическими операторами (панель Логический) в виде равенств и, возможно, неравенств;

· Find(x,y,z...) – встроенная функция для решения системы относительно переменных x,y,z,...

Так как эта функция использует для решения итерационные методы, то всем переменным должны быть присвоены начальные приближения до ключевого слова Given. Иногда неудачный выбор начальных приближений может привести к ошибке при решении, в таких случаях можно попытаться решить систему при других начальных приближениях,

Количество уравнений может быть как больше, так и меньше количества неизвестных (функция может быть использована и для решения одного уравнения).

В случае, когда заданная система уравнений имеет несколько решений, будет найдено только одно из них, определяемое начальными приближениями. Для нахождения других решений можно изменить начальные приближения или ввести дополнительные условия в виде неравенств.

Погрешность выполнения уравнений определяется системной константой CTOL, по умолчанию равной 0.001. При необходимости можно присвоить ей и другое значение.

Функция Find реализует один из следующих градиентных методов:

· сопряженных градиентов;

· Левенберга-Марквардта;

· квази-Ньютоновский.

Выбор метода производится с помощью контекстного меню (щелчок правой кнопки мыши на слове Find). Можно установить значение Автоматический выбор или из пункта Нелинейный выбрать один из этих трех методов, а также дополнительные опции вычислений (метод вычисления производной, тип аппроксимации и проверка линейности). В большинстве случаев нет необходимости самим выбирать метод решения и дополнительные параметры, оставив установленное по умолчанию значение Автоматический выбор, используя эту возможность только при затруднениях с решением.

В некоторых особых случаях (например, если значения произ­водных возле корня близки к нулю) функция Find может и не найти решения. В таких случаях можно попытаться использовать вместо функции Find функцию Minerr с теми же параметрами и использующей те же алгоритмы (то есть просто заменить слово Find на слово Minerr). Функция Minerr минимизирует невязку системы уравнений и срабатывает даже при отсутствии решения. Поэтому полученное таким образом решение обязательно нужно проверять подстановкой (хотя во всех случаях такая проверка не помешает).