Цель: сформировать умение применять формулы интерполирования функции при решении задач

Интерполяционный полином Лагранжа.

Пусть дана таблица значений

Требуется составить полином (функцию) y = f (x) степени m ≤ n – 1, который принимал бы заданные значения y_i при соответствующих значениях x_i: y_i = f (x_i) (i = 1, 2, 3, ………n). Иными словами график функции должен проходить через заданные точки M (x_i; y_i)

Данная задача выполнима при использовании интерполяционного полинома Лагранжа:

+

+......

....+ (1)

или

(2)

где - вспомогательная функция п -й степени, в которой x_i – заданные табличные значения аргумента.

Пример 1: Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице значений

Решение. Вспомогательная функция

Вычислим последовательно при данных значениях х:

= (х - 2)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 3);

, , , .

Тогда по формуле (1)

== х + 1

Таким образом, в данном случае в качестве интерполяционного полинома найдена линейная функция f (x) = х + 1.

Интерполяционная формула Ньютона.

Пусть у_0, у_1, у_2,....... – значения некоторой функции y = f (x), соответствующие равноотстоящим значениям аргументам х₀, х₁, х₂,....... (т.е. х_k+1 – x_k = Δ x = const).

Введем обозначения:

Δ у₀ = у₁ – у₀, Δ у₁ = у₂ – у₁, Δ у₂ = у₃ – у₂,........., Δ у_п-1 = у_п – у_п-1 - разности первого порядка данной функции;

Δ² у₀ = Δ у₁ – Δ у₀, Δ² у₁ = Δ у₂ – Δ у₁,............. – разности второго порядка

........................................................................

Δ ^п+1у₀ = Δ ^пу₁ – Δ ^пу₀, Δ ^п+1у₁ = Δ ^пу₂ – Δ ^пу₁,............. – разности (п+ 1)- го порядка

Производя последовательные подстановки, получим:

Δ² у₀ = у₂ -2у₁ + у₀, Δ³ у₀ = у₃ -3у₂ +3 у₁ – у₀ ,........

Подобным же образом получаем:

у₁ = у₀ + Δ у₀, у₂ = у₀ + 2 Δ у₀ + Δ² у₀, у₃ = у₀ + 3 Δ у₀ + 3 Δ² у₀ + Δ³ у₀,......

(3)

Запишем таблицу разностей:

х₀ у₀

Δ у₀

х₁ у₁ Δ² у₀

Δ у₁ Δ³ у₀

х₂ у₂ Δ² у₁ Δ⁴ у₀

Δ у₂ Δ³ у₁

х₃ у₃ Δ² у₂

Δ у₃

х₄ у₄

....................................................

Если в формуле (3) положить, что п – не только целое и положительное число, а может быть любым п = t, то получим интерполяционную формулу Ньютона

(4)

Мы получили такую функцию от t, которая обращается при t = 0 в у₀, при t = 1 в у_{1 ,} при t = 2 в у₂ и т. д. Поскольку последующее значение аргумента х при постоянном шаге h определяется формулой x_n = x₀ + nh, то . Тогда, полагая x = x₀ + th, приведем формулу (3) к виду (3^*)

Пример 2:

Из таблицы

Найти значение у при х = 3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

Решение. Составим таблицу разностей:

Здесь х₀ = 3, х = 3,1, h = 1. Тогда

Интерполяционная формула Ньютона (4) для этого случая: